​Shorter GRE Math 모의테스트 2 (2023년 중국후기) – 자세한 해설

 

 

1. At least one side of an isosceles right triangle has length 8.

 

Quantity A                                      Quantity B

The area of the triangle                       24

 

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

 

 

문제 해석:

 

“1. 적어도 이등변 직각삼각형의 한 변의 길이는 8이다.

 

수량 A: 그 삼각형의 면적

수량 B: 24“

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이등변 직각삼각형의 특성을 이용해서 면적을 구하는 것이요. 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형을 말합니다. 이등변 직각삼각형은 아래 그림에서 보는 바와 같이 길이가 같은 두 변으로 이루어진 꼭지각이 직각(90°)인 삼각형을 말합니다.

 

 

강쌤: 이등변 직각삼각형은 두 변이 밑변과 높이를 나타내므로 그것의 면적을 쉽게 구할 수 있습니다. 즉,

 

삼각형 ABC의 면적 = 1/2 (BC의 길이 x AB의 길이)

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 문제 1번에 주어진 조건 “적어도 이등변 직각삼각형의 한 변의 길이는 8이다”에 따르면 직각을 이루는 두 변이 각각 8이거나 빗변이 8이 됩니다.

 

1) 직각을 이루는 두 변 중 하나가 8일 때:

 

 

강쌤: 위 그림에서 보는 바와 같이 이등변 직각삼각형이므로 두 직각 변의 길이는 모두 8입니다. 이때, 면적은 다음과 같습니다.

 

삼각형 ABC의 면적 = 1/2 (8 x 8) = 1/2 (64) = 32

 

2) 빗변이 8일 때:

 

 

강쌤: 이등변 직각삼각형의 빗변이 8일 때, 이 삼각형의 면적을 구하려면 나머지 두 변의 길이를 알아야 합니다. 피타고라스 정리를 이용하면 두 변의 길이를 알 수 있습니다. 두 변의 길이를 각각 x라고 하면,

 

강쌤: 삼각형 ABC의 밑변과 높이가 각각  이므로 면적은 다음과 같습니다.

 

삼각형 ABC의 면적

 

 

 

강쌤: 1)과 2)의 두 경우를 비교해보면, 첫 번째 경우에 면적은 32이고 두 번째 경우에 면적은 16입니다. Quantity A는 32 또는 18이고 Quantity B는 24이므로 두 개의 수량 중 어느 것이 큰지를 비교할 수 없습니다. 따라서 정답은 D입니다.

 

 

빠르게 답 찾는 방법:

 

강쌤: 문제 1번에 주어진 조건 “적어도 이등변 직각삼각형의 한 변의 길이는 8이다”에 따르면 직각을 이루는 두 변이 각각 8이거나 빗변이 8이 됩니다.

 

1) 직각을 이루는 두 변 중 하나가 8일 때:

 

삼각형 ABC의 면적 = 1/2 (8 x 8) = 1/2 (64) = 32 > 24

 

2) 빗변이 8일 때:

 

직각을 이루는 두 변과 빗변의 관계는

 

, 대략 1 : 1 : 1.4이므로 x : x : 8에서 x는 대략 5.7 ≒ 6

 

삼각형 ABC의 면적 = 1/2 (6 x 6) = 18 < 24

 

강쌤: Quantity A는 32 또는 16이고 Quantity B는 24이므로 두 개의 수량 중 어느 것이 큰지를 비교할 수 없습니다. 따라서 정답은 D입니다.

 

 

 

2. Fifty boxes of lightbulbs were examined during a quality-control check. The number a defective lightbulbs per box and the corresponding frequencies are summarized in the table.

 

 

Number of Defective Lightbulbs	0	1	2	3 or more
Frequency	22	17	6	5

 

 

Quantity A                                                 Quantity B

The median number of defective lightbulbs                  1

per box for the fifty boxes

 

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

 

문제 해석:

 

“2. 50개의 전구 상자가 품질 관리 점검 중에 검사되었습니다. 상자당 불량 전구의 개수와 해당 빈도는 다음 표에 요약되어 있습니다.

 

불량 전구 개수: 0, 1, 2, 3개 이상

빈도: 22, 17, 6, 5

 

수량 A: 50개의 상자 중 상자당 불량 전구의 중간값

수량 B: 1“

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 주어진 데이터를 바탕으로 중간값을 계산하고, 그 중간값을 다른 주어진 값과 비교하여 두 값의 관계를 판단하는 것을 요구합니다. 구체적으로, 이 문제는 다음을 요구합니다:

 

1) 데이터 해석: 불량 전구의 개수와 빈도를 표에서 읽어야 합니다.

2) 중간값 계산: 중간값을 계산하기 위해 주어진 빈도 데이터를 누적 빈도로 변환하고, 중간에 위치한 데이터를 찾아야 합니다.

3) 비교: 계산한 중간값과 주어진 수량 B(값 1)을 비교하여 그 관계를 결정해야 합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 이 문제를 해결하기 위해서는 기본적인 통계 개념인 중간값의 계산과 누적 빈도의 이해가 필요합니다. 문제 해결의 순서는 다음과 같습니다:

 

1) 주어진 데이터를 누적 빈도로 변환

2) 중간값을 찾아 계산

3) 계산된 중간값을 주어진 값과 비교

4) 올바른 관계를 선택

 

강쌤: 위 과정을 통해 학생들은 중간값의 계산 방법을 익히고, 데이터를 분석하여 결론을 도출하는 능력을 기르게 됩니다.

 

강쌤: 먼저, 중간값을 계산하기 위해서 각 데이터의 누적 빈도를 계산해야 합니다. 표의 빈도를 바탕으로 누적 빈도를 구해보면 다음과 같습니다.

 

(1) 불량 전구 개수 0: 빈도 22, 누적 빈도 22

(2) 불량 전구 개수 1: 빈도 17, 누적 빈도 22 + 17 = 39

(3) 불량 전구 개수 2: 빈도 6, 누적 빈도 39 + 6 = 45

(4) 불량 전구 개수 3개 이상: 빈도 5, 누적 빈도 45 + 5 = 50

 

강쌤: 50개의 상자 중 중간값을 찾기 위해서는 25번째와 26번째 값을 봐야 합니다. 누적 빈도를 보았을 때, 25번째와 26번째 값은 모두 불량 전구가 1개인 경우에 속합니다. 따라서 중간값은 1입니다. 따라서 수량 A(상자당 불량 전구의 중간값)는 1이고, 수량 B도 1이므로 정답은 “C. 두 수량은 같다”입니다.

 

 

빠르게 답 찾는 방법:

 

강쌤: 50개의 상자 중 중간값은 25번째와 26번째 값을 합친 것에서 2로 나눈 값입니다. 아래 표를 보면 불량품 0개는 22개, 1개는 17개이므로 25번째 불량품은 1개, 26번째 불량품도 1개임을 알 수 있습니다. 따라서 중간값은 아래와 같습니다.

 

 

Number of Defective Lightbulbs	0	1	2	3 or more
Frequency	22	17	6	5

 

 

중간값 = (1 + 1) ÷ 2 = 1

 

강쌤: 수량 A(상자당 불량 전구의 중간값)는 1이고, 수량 B도 1이므로 정답은 “C. 두 수량은 같다”입니다.

 

 

 

 

3. The integer n is the least integer greater than 2 such that when n is divided by any one of 3, 4, and 5 the remainder is 2.

 

  Quantity A                           Quantity B

       n                                (3)(4)(5)

 

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

 

 

문제 해석:

 

“3. 정수 n은 3, 4, 5로 나눌 때 각각 나머지가 2가 되는 수인데, n은 2보다 큰 정수 중에서 가장 작은 정수이다.

 

수량 A: n

수량 B: (3)(4)(5)"

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 정수 n을 찾는 것입니다. n은 다음 조건을 만족하는 가장 작은 정수입니다:

 

1) n은 2보다 큰 정수이다.

2) n을 3, 4, 5로 나누었을 때 각각 나머지가 2이다.

 

강쌤: n의 값을 3, 4, 5의 곱과 비교하여 어느 쪽이 더 큰지를 판단하는 것입니다. 이 문제의 목적은 수학적 조건을 만족하는 최소 정수를 찾고, 이를 주어진 값과 비교하여 두 값의 관계를 판단하는 것입니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 주어진 조건에 따르면, n을 3, 4, 5로 나눌 때의 나머지가 2여야 합니다. 이를 수학적으로 표현하면, 다음 형태를 생각해볼 수 있습니다.

 

n = k⋅(3⋅4⋅5) + 2

   = 60k + 2

 

강쌤: k는 정수입니다. 이제 2보다 큰 정수 중 가장 작은 n을 찾기 위해 k의 최소값을 찾습니다. k=0이면 n=2이므로, 이는 2보다 큰 정수가 아닙니다. k=1을 대입해보면, n = 60×1 + 2 = 62.

 

강쌤: 이제 수량 B를 계산해봅니다. 3×4×5=60. 수량 A와 수량 B를 비교해보면, 수량 A인 62가 수량 B인 60보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 정답은 A입니다.

 

 

 

4. A list consists of n numbers, where n>1. The average(arithmetic mean) of the n numbers is equal to w such that w≠0 and .

 

    Quantity A                                                    Quantity B

     The sum of the n numbers in the list               n

 

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

 

 

문제 해석:

 

“4. 어떤 리스트에는 n개의 숫자가 있다(n > 1). 이 n개의 숫자의 평균(산술 평균)이 w와 같으며, w ≠ 0이고 을 만족한다.

 

수량 A: 리스트에 있는 n개의 숫자의 합

수량 B: n"

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 산술평균의 개념을 요구하고 있습니다. 산술평균은 우리가 일반적으로 알고 있는 평균의 개념입니다. 즉, 주어진 수(x1 ,x2, x3, ..., xn)의 합을 수의 개수 n으로 나눈 값입니다. 산술평균 m은 아래 공식으로 구할 수 있습니다.

 

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 문제를 풀기 위해서는 주어진 조건 을 만족하는 w를 찾아야 합니다.

 

                w=0 또는 w=1

 

강쌤: 문제에서 w ≠ 0이라고 주어졌으므로, w=1입니다. 따라서 다음 등식이 성립합니다.

 

 

강쌤: Quantity A는 “리스트에 있는 n개의 숫자의 합”을 나타내므로 n이 됩니다. 이것은 Quantity B의 “n"과 같으므로 4번 정답은 C입니다.

 

 

 

5. The probability is 0.70 that event E occurs, 0.40 that event F occurs and 0.30 that both events occur.

 

     Quantity A                                                      Quantity B

The probability that neither event E                        0.2

nor event F occurs

 

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

 

 

문제 해석:

 

“5. 사건 E가 발생할 확률이 0.70이고, 사건 F가 발생할 확률이 0.40이며, 두 사건이 모두 발생할 확률이 0.30이다.

 

수량 A: 사건 E와 사건 F가 모두 발생하지 않을 확률

수량 B: 0.2"

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 확률의 덧셈 개념을 요구하고 있습니다. 두 사건 E 또는 F가 발생할 확률은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

P(E∪F) = P(E) + P(F) - P(E⋂F)

 

강쌤: 여기서 P(E∪F)는 사건 E 또는 F가 발생할 확률, P(E)는 사건 E가 발생할 확률, P(F)는 사건 F가 발생할 확률, P(E⋂F)는 사건 E와 F가 동시에 발생할 확률을 나타냅니다.

 

강쌤: 두 사건 E와 F가 발생하지 않을 확률은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

P(Neither E nor F) = 1 - P(E∪F)

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 이 문제에서 우리는 사건 E 또는 사건 F가 발생하지 않을 확률을 구해야 합니다. 주어진 정보에 따르면:

 

사건 E가 발생할 확률 P(E) = 0.70

사건 F가 발생할 확률 P(F) = 0.40

두 사건이 동시에 발생할 확률 P(E∩F) = 0.30

 

강쌤: 두 사건이 적어도 하나가 발생할 확률은 다음과 같이 구할 수 있습니다:

 

P(E∪F) = P(E) + P(F) - P(E⋂F)

= 0.70 + 0.40 - 0.30

= 0.80

 

강쌤: 따라서 두 사건이 모두 발생하지 않을 확률은:

 

P(Neither E nor F) = 1 - 0.80

= 0.20

 

강쌤: 이제 수량 A와 수량 B를 비교해보면, 수량 A "사건 E와 사건 F가 모두 발생하지 않을 확률"은 0.20이고, 수량 B “0.2”이므로 두 수량은 같습니다. 따라서 정답은 C입니다.

 

 

 

6. Which of the following is equal to  ?

 

   A.   B.   C.   D.     E.

 

문제 해석:

 

“6. 다음 중 어느 것이  와 같은가?”

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 거듭제곱, 인수분해, 약분 개념을 요구합니다. 은 5를 아홉 번 곱했다는 뜻이고 로 인수분해 할 수 있으며, 분자와 분모에 있는 4는 약분할 수 있습니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 이 문제를 풀기 위해서는 먼저 을 단순화해보겠습니다.와 에는 공통적으로이 포함되어 있습니다. 이를 이용해 다음과 같이 인수분해 할 수 있습니다:

 

      

 

강쌤: 이제 원래 문제의 수식을 보면 다음과 같습니다:

 

 

강쌤: 이 수식의 답은이므로 정답은 D입니다.

 

 

 

 

 

7. On the number line above, the points with coordinates a, b, and c are in the order indicated. Which of the following must be true?

 

A. a+b=c    B. a+c=b    C. b-a＜c    D. ac＞bc    E. ab＞ac

 

 

문제 해석:

 

“7. 위의 수직선에서 좌표 a, b, c를 갖는 점들은 표시된 순서대로 있다. 다음 중 어느 것이 틀림없는 사실일까?

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 수학에서 수직선과 좌표의 개념을 이해하고 적용하는 능력을 요구합니다. 구체적으로 다음과 같은 개념들이 필요합니다:

 

  1) 수직선의 이해:

 

강쌤: 숫자들이 수직선 상에서 어떻게 위치하고 있는지, 특히 음수와 양수의 상대적 위치를 이해해야 합니다. a는 0보다 왼쪽에 있으므로 음수를 나타내고 b와 c는 0보다 오른쪽에 있으므로 양수를 나타냅니다. 또, c가 b보다 오른쪽에 있으므로 크기가 더 큽니다.

 

  2) 거리 개념:

 

강쌤: 수직선 위의 점에 숫자가 표시되면 두 점 사이의 거리를 파악할 수 있습니다. 하지만 이 문제에서는 a, b, c의 위치만 분명할 뿐 서로의 간격이 불분명하므로 거리를 파악하기 힘듭니다. 이런 점을 고려해서 문제를 풀어야 합니다.

 

  3) 좌표의 대수적 연산:

 

강쌤: a, b, c의 크기가 불분명하므로 수직선을 이용해서 덧셈과 뺄셈을 할 수 없습니다. 대신에, 곱셈에서 부호는 알 수 있습니다. 예를 들면, a는 음수, b는 양수이므로 ab<0입니다.

 

 

문제 풀이:

 

 

강쌤: 위 수직선에서 a와 0의 간격, b와 c의 간격 중 어느 것이 큰 지 알 수 없습니다. 그래서 선택지들 중 “A. a+b=c”, “B. a+c=b”, “C. b-a＜c”는 참, 거짓을 가리기 어렵습니다. 반면에, “D. ac＞bc”는 오답입니다. 왜냐하면 ac<0인데, bc>0이기 때문입니다. “E. ab＞ac”는 다음과 같은 이유로 정답입니다.

 

ab - ac = a(b - c) > 0 (∵ a<0이고, b<c이므로 b-c<0, 즉 음수x음수=양수)

 

 

 

8. Each time a certain coin is tossed, the coin lands either heads up or tails up. For any given toss, the probability that the coin will land heads up is equal to the probability that the coin will land tails up. The coin is to be tossed n times. What is the least possible value of n such that the probability of the coin landing heads up n times in a row is less than 0.05?

 

A. 2     B. 3     C. 4     D. 5     E. 6

 

 

문제 해석:

 

“8. 어떤 동전을 던질 때마다 앞면(헤드) 또는 뒷면(테일)이 나온다. 주어진 던지기에서, 동전이 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 같다. 이 동전은 n번 던져질 것이다. 동전이 연속으로 n번 앞면이 나올 확률이 0.05보다 작은 최소 n의 값은 얼마인가?”

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 확률 이론과 지수 부등식 개념을 요구합니다. 동전을 던질 때 각 면이 나올 확률은 동일하며, 이는 0.5(50%)입니다. 여러 번 독립적으로 사건이 발생할 때의 전체 확률을 계산할 수 있어야 합니다. 예를 들어, 동전을 n번 던져 모두 앞면이 나올 확률은 각 던지기 확률의 곱인 입니다. 이 문제에서 확률이 주어진 값(여기서는 0.05)보다 작아지도록 하는 최소의 횟수 n을 구해야 하므로, 확률을 표현하는 지수 부등식을 풀어야 합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 동전을 던질 때마다 앞면이 나올 확률은 1/2입니다. 동전이 n번 연속으로 앞면이 나올 확률은 입니다. 이 확률이 0.05보다 작아야 하므로 다음 부등식을 풀어야 합니다:

 

 

강쌤: 20보다 큰 최소의 값을 구하면 n=5입니다. (∵) 따라서 정답은 “D. 5"입니다.

 

 

 

9. The original price of a lawn mower was $500. The original price was reduced by 25 percent resulting in a sale price, and the sale price was reduced by more than 20 percent resulting in a clearance price. Which of the following could be the clearance price of the lawn mower?

 

   Indicate all such prices.

 

A. $240     B. $250     C. $260     D. $275     E. $290     F. $300     G. $310

 

   Select one or more answer choices.

 

 

 

문제 해석:

 

“9. 잔디 깎기의 원래 가격은 $500였다. 원래 가격은 25퍼센트 할인되어서 판매 가격이 되었고, 이 판매 가격은 20퍼센트 이상 할인되어서 최종 정리 가격이 되었다. 다음 중 어느 것이 잔디 깎기의 최종 정리 가격이 될 수 있을까?”

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 할인율을 백분율로 변환하고 이를 가격에 적용하여 할인된 가격을 계산하는 능력과 처음 할인 후 얻은 결과를 다시 할인하여 최종 가격을 계산하는 복합적인 백분율 적용 방법을 이해하는 능력을 요구합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 잔디 깎기의 원래 가격은 $500입니다. 원래 가격에서 25퍼센트 할인된 판매 가격 x를 계산하면 다음과 같습니다.

 

(500 - x) / 500 = 0.25,

1 - x/500 = 0.25,

x/500 = 0.75,

x = 0.75 x 500 = 375

 

강쌤: 이 판매 가격에서 20퍼센트 이상 할인된 최종 정리 가격 y를 계산하면 다음과 같습니다.

 

(375 - y) / 375 > 0.20,

1 - y/375 > 0.20,

y/375 < 0.8,

y < 0.8 x 375,

y < 300

 

강쌤: 최종 정리 가격은 $300 이하이어야 합니다. 따라서 정답은 A. $240, B. $250, C. $260, D. $275, E. $290입니다.

 

 

 

10.

The figure above shows a normal distribution with mean m and standard deviation d, including approximate percents of the distribution corresponding to the six regions shown.

 

The lengths of phone calls made on a certain weekend by students at High School H are approximately normally distributed with a mean of 30 minutes and a standard deviation of 10 minutes. Which of the following statements must be true?

 

 Indicate all such statements.

 

A.  The range of the lengths of the phone calls is less than 60 minutes.

B.  The lengths of half of the phone calls are each greater than 40 minutes.

C.  The length of a 35-minute phone call is 0.5 standard deviation from the mean of the lengths of the phone calls.

 

 

문제 해석:

“위의 그림은 표시된 6개 지역에 해당하는 분포의 대략적인 백분율을 포함하여 평균 m과 표준편차 d를 갖는 정규분포를 보여준다.H 고등학교 학생들의 특정 주말 통화 길이는 평균 30분, 표준편차 10분 정도로 대략 정규분포를 따른다. 다음 중 반드시 맞는 문장은 무엇인가?그런 진술을 모두 표시하라.

 

     A. 통화 길이의 범위는 60분 미만이다.

     B. 전화의 절반의 길이는 각각 40분 이상이다.

     C. 35분 통화의 길이는 통화 길이의 평균으로부터 0.5 표준편차이다.“

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 정규분포의 특성, 평균, 표준편차, 표준 점수 계산법을 요구합니다.

 

1) 정규분포(Normal Distribution)의 특성:

 

강쌤: 정규분포의 특성을 이해하고 있어야 합니다. 특히 평균(m)과 표준편차(d)의 역할을 이해해야 합니다. 정규분포에서 평균, 중앙값(median), 최빈값(mode)은 모두 같습니다.

 

2) 평균(mean)과 표준편차(Standard Deviation)::

 

강쌤: 정규분포에서 평균은 데이터의 중심값을 나타내며, 표준편차는 데이터의 흩어짐 정도를 나타냅니다. 위 그림에서 보는 바와 같이, 약 68%의 데이터는 평균으로부터 ±1 표준편차 내에, 약 95%의 데이터는 ±2 표준편차 내에, 약 99.7%의 데이터는 ±3 표준편차 내에 존재합니다. 이 문제에서는 평균이 30분, 표준편차가 10분입니다.

 

3) 표준 점수(Z-score) 계산법:

 

강쌤: 정규분포에서 특정 값이 평균에서 몇 표준편차 떨어져 있는지를 나타내는 값입니다.

 

Z-score 계산 공식: (x - m) / d

 

강쌤: 위 식에서 x는 데이터 값, m은 평균, d는 표준편차입니다. 이 문제에서는 35분이 평균으로부터 0.5 표준편차 떨어져 있다는 것을 계산할 수 있습니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 평균 30분, 표준편차 10분을 갖는 정규분포의 맥락에서 세 진술의 진위 여부를 분석하겠습니다.

 

 

  1) 진술 A: 전화통화 시간의 범위는 60분 미만이다.

 

강쌤: 위 그림에 따르면 전화 통화의 최대 길이는 60분을 넘을 수 있고, 최소 길이는 0분이므로 전화 통화의 범위(range)는 60분 이상일 수 있습니다. 그러므로 진술 A는 오답입니다. 좀 더 자세히 살펴보면, 데이터의 68%가 1표준편차(±10) 이내에 포함되고, 데이터의 96%는 2표준편차(±20) 이내에 포함되며, 데이터의 99.7%는 3표준편차(±30) 이내에 포함됩니다.

 

  2) 진술 B: 전화통화의 절반은 각각 40분 이상이다.

 

강쌤: 이 진술은 전화통화 시간의 중간값이 40분보다 길다는 것을 암시합니다. 하지만 위 그림에서 보는 바와 같이 전화통화의 절반인 50%는 30분 미만이고, 나머지 50%는 30분 이상입니다. 따라서 진술 B는 오답입니다.

 

  3) 진술 C: 35분짜리 전화통화의 길이는 전화통화 길이의 평균에서 0.5 표준편차이다.

 

강쌤: 이 진술은 35분 통화가 평균에서 몇 표준편차 떨어져 있는지 파악하라는 것입니다. 정규분포에서 35분이 평균에서 몇 표준편차 떨어져 있는지를 나타내는 값은 다음과 같이 계산할 수 있습니다

 

Z-score 계산 공식: (x - m) / d

Z-score = (35 - 30) / 10 = 0.5

 

강쌤: 35분 통화는 평균 30분보다 0.5 표준편차 떨어진 것으로 계산되므로 진술 C는 맞습니다.

 

 

 

11. Glen purchased granola and raisins separately for a total cost of $5.70. The total weight of the granola and the raisins was 14 ounces. The cost of the granola was $0.55 per ounce, and the cost of the raisins was $0.15 per ounce. How many ounces of granola did Glen purchase?

 

                               ____________ ounces

 

Enter your answer as an integer or a decimal in the answer box. Backspace to erase.

 

 

문제 해석:

 

“11. Glen은 그래놀라와 건포도를 각각 총 $5.70에 구입했다. 그래놀라와 건포도의 총 무게는 14온스였다. 그래놀라의 가격은 온스당 $0.55이고, 건포도의 가격은 온스당 $0.15이다. Glen이 구입한 그래놀라의 양은 몇 온스인가?"

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 두 개의 연립방정식을 세우고 푸는 능력을 요구합니다. 첫 번째 방정식은 총 무게에 관한 것이고, 두 번째 방정식은 총 가격에 관한 것입니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 그래놀라의 무게를 x온스라고 하고, 건포도의 무게를 y온스라고 하면 다음과 같은 두 개의 방정식을 세울 수 있습니다:

 

총 무게에 관한 방정식: x + y = 14

총 가격에 관한 방정식: 0.55x + 0.15y = 5.70

 

강쌤: 첫 번째 방정식에서 y를 x로 나타내면:

 

y = 14 - x

 

강쌤: 이 값을 두 번째 방정식에 대입하면:

 

0.55x + 0.15(14 - x) = 5.70,

0.55x + 2.10 - 0.15x = 5.70,

0.40x + 2.10 = 5.70,

0.40x = 3.60,

x = 9

 

강쌤: 따라서 글렌이 구입한 그래놀라의 양은 9 온스입니다.

 

 

 

 

12. In the circle with center O, if the length of minor arc MP is 3π, what is the area of square region MOPQ?

 

A. 9     B. 12     C. 24     D. 36     E. 144

 

 

문제 해석:

 

“12. O가 중심인 원에서, 짧은 호 MP의 길이가 3π일 때, 정사각형 MOPQ의 면적은 얼마인가?”

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 원의 성질, 접선과 반지름의 관계, 호의 길이와 원주의 비율을 이용하여 반지름 계산, 정사각형의 한 변의 길이와 면적 계산 능력을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 원주 = 2πr이고, 원의 접선은 반지름과 항상 직각을 이룹니다. 이 문제에서는 반지름이 직각으로 교차하는 지점들을 이용하여 정사각형을 형성합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: O가 중심인 원에서, 점 M과 점 P에서 접선이 그려지므로 각도가 90도가 됩니다. 이 경우, 원의 호 MP의 길이가 3π일 때, MOPQ 사각형의 넓이를 구해야 합니다.

 

1) 호의 길이와 반지름 구하기:

 

강쌤: 호 MP의 길이가 3π이고, 원의 전체 원주는 2πr입니다. 중심 O에서 호 MP의 각도는 90도이므로 다음 비례 관계가 성립합니다.

 

원의 각도: 원의 둘레(원주) = 호의 각도: 호의 둘레

360: 2πr = 90: 3π,

360(3π) = 90(2πr),

 

양변을 180π로 나누면,

 

6 = r

 

2) 정사각형 MOPQ의 면적 구하기:

 

강쌤: 정사각형 MOPQ의 한 변의 길이는 원의 반지름 길이인 6입니다. 정사각형의 면적은 한 변의 길이의 제곱이므로,

 

MOPQ의 면적 = 6 x 6 = 36

 

강쌤: 따라서, 정답은 "D. 36"입니다.

 

 

 

13. Three of the vertices of parallelogram RSTU in the xy-plane are R(-3, -2), S(1, -5), and T(9, 1). Which of the following could be the x-coordinate of vertex U?

 

     A. 3     B. 4     C. 5     D. 6     E. 7

 

 

문제 해석:

 

“13. xy-평면에서 평행사변형 RSTU의 세 개의 꼭짓점이 R(-3, -2), S(1, -5), T(9, 1)이다. 다음 중 어느 것이 꼭짓점 U의 x-좌표가 될 수 있는가?”

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 평행사변형의 성질과 중점 공식을 요구합니다. 평행사변형에서 대각선은 서로를 이등분합니다. 이 성질을 이용하여 대각선의 중점을 구하고, 두 대각선의 중점을 비교하여 네 번째 꼭짓점의 좌표를 찾습니다.

 

강쌤: 두 점(x1, y1)과 (x2, y2)의 중점은 다음과 같이 계산합니다.

 

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 문제를 해결하기 위해서, 평행사변형의 성질을 이용해야 합니다. 평행사변형에서 대각선은 서로를 이등분합니다. 따라서 대각선의 중점은 동일합니다. R(-3, -2)와 T(9, 1) 사이의 중점을 계산해보겠습니다. R과 T의 중점 x-좌표는,

 

(-3 + 9) / 2 = 3

 

강쌤: R과 T의 중점 y-좌표는,

 

(-2 + 1) / 2 = -0.5

 

강쌤: S(1, -5)와 U(x, y)의 중점을 구해보겠습니다. S와 U의 중점 x-좌표는,

 

(1 + x) / 2이고, 이것은 3과 같아야 하므로

(1 + x) / 2 = 3,

1 + x = 6,

x = 5

 

강쌤: 따라서 U의 x-좌표는 5입니다. 그래서 정답은 “C. 5”입니다. 이렇게 계산하면 U의 y-좌표도 확인할 수 있습니다. 중점의 y-좌표는 (-5 + y) / 2 = -0.5. 이를 풀면, -5 + y = -1. y = 4. 따라서 U의 좌표는 (5, 4)입니다.

 

 

 

14. A family had a package of cheese. They used  of the cheese in the package to cook a pasta meal, and then used a fraction of the remaining cheese to cook a taco meal. If  of the cheese that was originally in the package is left over, what fraction of the cheese that remained after cooking the pasta meal did the family use to cook the taco meal?

 

    A.      B.      C.      D.      E.

 

 

문제 해석:

 

“14. 어떤 가족이 치즈 한 팩을 가지고 있었다. 이 가족은 그 치즈의 1/3을 사용하여 파스타 요리를 만들었고, 남은 치즈 중 일부를 사용하여 타코 요리를 만들었다. 처음 치즈의 1/4이 남아있다고 할 때, 이 가족은 파스타 요리를 한 후 남은 치즈의 몇 분의 몇을 타코 요리를 하는데 사용했을까?”

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 분수의 연산, 비율과 비례, 방정식 만들고 푸는 능력을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면,

 

첫째, 치즈의 사용량을 분수로 나타내고, 분수의 뺄셈을 통해 남은 치즈의 양을 계산해야 합니다. 공통 분모를 맞추고 분수의 계산을 수행하는 능력이 필요합니다.

 

둘째, 남은 치즈의 양과 사용된 치즈의 양 사이의 비율을 구해야 합니다. 분수로 주어진 양을 비율로 나타내는 능력이 요구됩니다.

 

셋째, 주어진 정보를 기반으로 방정식을 세우고 이를 풀어야 합니다. 변수 x를 도입하여 치즈 사용량을 나타내고, 이 변수를 통해 문제를 해결하는 능력이 필요합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 치즈의 전체 양을 C라고 하겠습니다. 파스타 요리에 사용된 치즈의 양은 C/3입니다. 파스타 요리 후 남은 치즈의 양은

 

 

강쌤: 남은 치즈 중 일부를 타코 요리에 사용한 후, 전체 치즈의 1/4이 남아있다고 했습니다. 따라서 남은 치즈의 양은 C/4입니다. 파스타 요리 후 남은 치즈 양 2C/3 중 타코 요리에 사용된 치즈의 양을 x라고 하면,

 

 

강쌤: 이 식을 정리하면,

 

 

강쌤: 따라서, 파스타 요리 후 남은 치즈의 2C/3 중 타코 요리에 사용된 치즈의 비율은,

 

 

강쌤: 따라서, 정답은 “D. 5/8"입니다.

 

 

 

15. A retailer sells one type of hockey stick. Last week, the retail price of each hockey stick was 20 percent more than its wholesale cost. Which of the following statements individually provide(s) sufficient additional information to determine the retail price of each hockey stick last week?

 

   Indicate all such statements.

 

A. Last week, the wholesale cost of each hockey stick was $40.00.

B. Last week, the ratio of the retail price of each hockey stick to its wholesale cost was 6 to 5.

C. Last week, the profit from the sale of one of the hockey sticks sold at its retail price was $8.00. (Note: Profit equals retail price minus wholesale cost.)

 

Select one or more answer choices.

 

 

문제 해석:

 

“15. 소매업자는 한 종류의 하키 스틱을 판매한다. 지난주에, 각 하키 스틱의 소매 가격은 도매 비용보다 20퍼센트 더 비쌌다. 다음 중 어떤 진술이 개별적으로 제공되었을 때, 지난주 각 하키 스틱의 소매 가격을 결정하는 데 충분한 추가 정보를 제공하는가?

 

다음 진술 중 모든 해당되는 것을 표시하세요.

 

   A. 지난주에, 각 하키 스틱의 도매 비용은 $40.00이었다.

   B. 지난주에, 각 하키 스틱의 소매 가격과 도매 비용의 비율이 6 대 5였다.

   C. 지난주에, 소매 가격으로 판매된 한 하키 스틱의 이익은 $8.00이었다. (참고: 이익은 소매 가격에서 도매 비용을 뺀 값이다.)"

 

 

이 문제가 요구하는 것:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 것은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 비율 및 백분율, 방정식을 세우는 능력, 논리적 추론 능력이 요구합니다. 구체적으로 살펴보면,

 

첫째, 비율 및 백분율: 문제에서 소매 가격이 도매 비용보다 20% 더 높다는 것을 이해하고, 이를 비율로 표현하는 능력. 이는 백분율을 비율로 변환하는 과정입니다.

 

둘째, 방정식: 소매 가격과 도매 비용의 관계를 나타내는 방정식을 세우는 능력이 요구됩니다.

 

셋째, 논리적 추론: 각 진술이 소매 가격을 결정하는 데 충분한 정보를 제공하는지 판단하는 능력. 이는 주어진 정보와 추가 정보를 비교하고, 필요한 정보를 추론하는 과정을 포함합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 먼저 문제를 이해하기 위해, 각 하키 스틱의 도매 비용을 C라고 하고 소매 가격을 R이라고 하겠습니다. 문제에서 주어진 정보는 소매 가격이 도매 비용보다 20% 더 비쌌다는 것입니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

R = C + 0.2C = 1.2C

 

강쌤: 이제 각각의 진술이 소매 가격을 결정하는 데 충분한지 확인해보겠습니다.

 

진술 A: 지난주에, 각 하키 스틱의 도매 비용은 $40.00이었다.

 

강쌤: C=40이므로 R=1.2×40=48입니다. 이 진술은 도매 비용을 제공하므로 소매 가격을 쉽게 계산할 수 있습니다. 따라서 진술 A는 충분한 추가 정보입니다.

 

진술 B: 지난주에, 각 하키 스틱의 소매 가격과 도매 비용의 비율이 6 대 5였다.

 

강쌤: 문제에서 이미 소매 가격이 도매 비용보다 20% 더 비싸다는 것을 제공했으므로, 이 비율은 추가 정보가 아니라 기존 정보에 불과합니다. 따라서 진술 B는 추가 정보로 간주할 수 없습니다.

 

진술 C: 지난주에, 소매 가격으로 판매된 한 하키 스틱의 이익은 $8.00이었다.

 

강쌤: 이익 $8은 R - C = 8로 표현됩니다. 이것을 C에 대해 정리하면, C = R - 8이 됩니다. 이를 R = 1.2C에 대입하면,

 

R = 1.2(R - 8),

-0.2R = -9.6,

R = 48

 

강쌤: R = 48을 ‘C = R - 8’에 대입하면,

 

C = 48 - 8 = 40

 

강쌤: 따라서 이 진술은 소매 가격과 도매 비용을 정확히 계산하는 데 유용한 정보입니다. 따라서 진술 C는 충분한 추가 정보를 제공합니다. 결론적으로, 진술 A와 C가 개별적으로 소매 가격을 결정하는 데 충분한 추가 정보를 제공하므로 정답은 A, C입니다.