Shorter GRE Math 모의테스트 4 (2023년 중국후기) – 자세한 해설

 

 

 

1. The median of n consecutive odd integers is 0.

 

    Quantity A                                             Quantity B

The sum of the n integers         The sum of the least and greatest of the n integers

 

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

 

 

문제 해석:

 

“1. n개의 연속된 홀수의 중앙값이 0이다.

 

수량 A: n개의 정수의 합

수량 B: n개의 정수 중 가장 작은 수와 가장 큰 수의 합

“

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 중앙값(Median), 연속된 홀수(Consecutive Odd Integers), 대칭성(Symmetry) 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 중앙값은 데이터 집합을 크기 순서대로 정렬했을 때 가장 가운데에 위치한 값을 의미합니다. 연속된 홀수는 일정한 간격으로 증가하는 홀수들의 집합을 의미합니다. 예를 들어, -3, -1, 1, 3과 같은 수열이 연속된 홀수입니다. 중앙값이 0인 연속된 홀수는 0을 중심으로 대칭적입니다. 예를 들어, -3, -1, 1, 3과 같은 수열에서 양 끝 수의 합은 항상 0이 됩니다. 이는 음수 부분과 양수 부분이 서로 상쇄되는 대칭적 특성을 나타냅니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 다음 4가지 사항들을 살펴보겠습니다.

 

1) 중앙값이 0인 연속된 홀수의 특성:

 

강쌤: n개의 연속된 홀수의 중앙값이 0이라는 것은 해당 수열이 0을 중심으로 대칭이라는 것을 의미합니다. 중앙값이 0이 되려면 n의 개수가 짝수라야 합니다.

 

초롱: 왜요?

강쌤: n의 개수가 홀수이면 중앙값이 0이 되지 않기 때문입니다. 예를 들면, n=3일 때 연속된 홀수가 -3, -1, 1이면 중앙값은 -1이 됩니다. 반면에, n=4일 때 연속된 홀수가 -3, -1, 1, 3이면 중앙값은 (-1+1)÷2 = 0입니다.

 

2) n개의 정수의 합:

 

강쌤: 중앙값이 0이고 수열이 대칭이므로 n개의 정수의 합은 항상 0입니다. 이는 수열이 0을 중심으로 대칭이므로 음수와 양수가 서로 상쇄되기 때문입니다.

 

3) 가장 작은 수와 가장 큰 수의 합:

 

강쌤: 연속된 홀수 수열에서 가장 작은 수와 가장 큰 수는 항상 대칭이므로 합하면 0입니다. 예를 들어, n=4인 경우, 가장 작은 수는 −3이고, 가장 큰 수는 3이므로, 합은 −3+3=0입니다. 따라서, 연속된 홀수의 합과 가장 작은 값과 가장 큰 값의 합은 동일합니다. 그래서 정답은 C입니다.

 

 

 

 

2.

Seven small circles of equal radius are located within a large circle as shown. The small circle in the center is tangent to each of the other small circles. Each of the other small circles is tangent to the large circle and to two other adjacent circles.

 

      Quantity A                                                 Quantity B

The sum of the areas                          Three times the area

of the shaded regions                         of one of the small circles

 

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

 

 

문제 해석:

 

“2. 같은 반지름을 가진 일곱 개의 작은 원들이 큰 원 안에 그림에서 보는 바와 같이 배치되어 있다. 중앙에 있는 작은 원은 6개의 작은 원들 각각에 접해 있다. 나머지 여섯 개의 작은 원은 각각 큰 원과 두 개의 인접한 작은 원들과 접해 있다.

 

수량 A: 음영 지역들의 면적의 합

수량 B: 한 작은 원의 면적의 3배

“

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 원의 면적, 음영 지역들의 면적, 접선의 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 음영 지역들의 면적은 큰 원의 면적에서 7개의 작은 원들의 면적들을 빼면 얻을 수 있습니다. 접선의 개념을 이용하면, 큰 원의 반지름은 작은 원의 반지름의 3배라는 것을 알 수 있습니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 음영 지역들의 면적은 다음과 같이 계산될 수 있습니다.

 

음영 지역들의 면적 = 큰 원의 면적 - 7개의 작은 원들의 면적

 

강쌤: 작은 원의 반지름을 r이라 하면, 작은 원의 면적은 이고, 7개의 작은 원들의 총 면적은 입니다.

 

초롱: 큰 원의 면적은 어떻게 구하나요?

강쌤: 접선의 개념을 활용하세요. 중앙의 작은 원과 인접한 두 개의 원들의 지름을 합치면 큰 원의 지름이 됩니다. 큰 원의 지름은 얼마일까요?

초롱: 2r + 2r + 2r = 6r이요.

강쌤: 그렇죠. 큰 원의 지름이 6r이므로 반지름은 3r입니다. 큰 원의 면적은 이죠. 그렇다면 음영 지역들의 면적은 다음과 같습니다.

 

음영 지역들의 면적 =  

 

강쌤: 수량 A의 값은 입니다. 그렇다면 수량 B의 값, 즉 한 작은 원의 면적의 3배는 얼마인가요?

초롱: 이요.

강쌤: 그렇죠. 그래서 수량 B의 값이 크므로 정답은 B입니다.

 

 

 

3. Small, medium, and large prizes were purchased for a game booth at a carnival. Small prizes cost $2.25 each, medium prizes cost $3.15 each, and large prizes cost $5.20 each. Of the prizes purchased, 45 percent were small, 35 percent were medium and the rest were large.

 

        Quantity A                                                  Quantity B

The percent of the total amount            The percent of the total amount

used to purchase small prizes                used to purchase large prizes

 

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

 

 

문제 해석:

 

“3. 작은 상품, 중간 상품, 큰 상품이 카니발 게임 부스에서 구매되었다. 작은 상품은 각각 $2.25, 중간 상품은 각각 $3.15, 큰 상품은 각각 $5.20이다. 구매한 상품들 중 45%는 작은 상품, 35%는 중간 상품이고, 나머지는 큰 상품이다.

 

수량 A: 작은 상품을 구매하는 데 사용된 총 금액의 백분율

수량 B: 큰 상품을 구매하는 데 사용된 총 금액의 백분율

“

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 백분율(Percentage), 비율(Proportion), 산술 연산(Arithmetic Operations)을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 백분율(Percentage)은 각 상품의 비율을 이해하고 계산하는 능력을 요구합니다. 예를 들어, 작은 상품이 전체 상의 45%를 차지한다는 것을 이해하는 것입니다. 비율(Proportion)은 주어진 백분율을 실제 양으로 변환하고, 이를 이용해 계산하는 능력을 요구합니다. 여기서는 각각의 상품이 총 금액에서 차지하는 비율을 계산하는 것이 포함됩니다. 산술 연산(Arithmetic Operations)은 각 상품의 개수와 가격을 곱하고, 이를 통해 총 금액의 일부를 계산하는 과정을 요구합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 우선, 각 상품의 비율을 구하면,

 

작은 상품: 45%

중간 상품: 35%

큰 상품: 20% (100% - 45% - 35%)

 

강쌤: 이제 각 상품의 가격을 고려하여 총 금액에서 각 상품이 차지하는 비율을 계산하면,

 

작은 상품을 구매하는 데 사용된 금액의 비율 (수량 A)

= 작은 상품의 비율 × 작은 상품의 가격

= 0.45 × 2.25

= 1.0125

 

큰 상품을 구매하는 데 사용된 금액의 비율 (수량 B)

= 큰 상품의 비율 × 큰 상품의 가격

= 0.20 × 5.20

= 1.04

 

강쌤: 수량 A는 1.0125이고 수량 B는 1.04이므로 수량 B가 수량 A보다 더 큽니다. 따라서 정답은 B입니다.

 

 

 

4.

     

 

     Quantity A            Quantity B

          x                   

 

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 대수적 조작(Algebraic Manipulation), 식의 전개와 인수분해(Expansion and Factorization), 조건의 활용을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 주어진 방정식을 변형하고 정리하는 과정에서 대수적 조작이 필요합니다. 이는 방정식을 변형하고, 양변에 동일한 수를 곱하거나 더하고, 인수분해를 하는 등의 기술을 포함합니다. 또, 방정식을 전개하고 인수분해하는 과정이 포함되어 있습니다. 또, xy≠0이라는 조건을 이용하여 해를 구하는 과정이 포함됩니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤:  에서 양 변에 (1+xy)를 곱하면 다음과 같습니다.

     

 

강쌤: 우변을 전개하면,

 

      

 

강쌤: 우변 항목들을 좌변으로 옮기고 정리하면,

 

 

강쌤: 인수분해하면,

 

      ,

      

 

강쌤: xy≠0, 즉 x≠0, y≠0이므로 . 따라서,

 

1 - xy = 0,

xy = 1,

강쌤: 수량 A인 x와 수량 B인 는 같으므로 정답은 C입니다.

 

 

 

5. A random variable X is normally distributed with a mean of 10 and a standard deviation of 3. A random variable Y is normally distributed with a mean of 16 and a standard deviation of 8.

 

     Quantity A                                                Quantity B

The probability that 4

 

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

 

 

문제 해석:

 

“5. 확률 변수 X는 평균이 10이고 표준 편차가 3인 정규 분포를 따른다. 확률 변수 Y는 평균이 16이고 표준 편차가 8인 정규 분포를 따른다.

 

수량 A: 4일 확률

수량 B: 8일 확률

“

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 정규분포의 속성과 특정 구간에서의 확률 계산을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 평균과 표준 편차가 무엇을 의미하는지 이해해야 하고, 특정 값이 평균으로부터 몇 표준편차 떨어져 있는지를 알아야 합니다. 또, 아래 그림에 나타난 바와 같이, 정규분포의 특정 구간 내에서의 확률을 계산하는 방법을 이해해야 합니다.

 

문제 풀이:

 

강쌤: 이 문제를 풀기 위해 각 확률을 계산해 보겠습니다. X의 분포는 평균이 10, 표준편차가 3인 정규분포이고, Y의 분포는 평균이 16, 표준편차가 8인 정규 분포입니다. 4 < X < 13를 평균(m)과 표준편차(d) 수치로 바꾸면,

 

4 < X < 13,

10-6 < X < 10+3

m-2d < X < m+d

 

강쌤: 위 그림을 보면, m-2d에서의 확률 P(m-2d) = 0.02이고, m+d에서의 확률 P(m+d) = 0.84입니다. 따라서 4 < X < 13일 확률은 P(m+d) - P(m-2d)이므로 0.84 - 0.02 = 0.82입니다.

 

강쌤: 8 < Y < 24를 평균(m)과 표준편차(d) 수치로 바꾸면,

 

8 < Y < 24

16-8 < Y < 16+8

m-d < Y < m+d

 

강쌤: 위 그림을 보면, m-d에서의 확률 P(m-d) = 0.16이고, m+d에서의 확률 P(m+d) = 0.84입니다. 따라서 8 < Y < 24일 확률은 P(m+d) - P(m-d)이므로 0.84 - 0.16 = 0.68입니다.

 

강쌤: 수량 A는 0.82이고, 수량 B는 0.68이므로 수량 A가 큽니다. 따라서 정답은 A입니다.

 

 

 

6. If a two-digit number that has x as the tens' digit and y as the units' digit is multiplied by 5, then the value of the product is

 

   A. 5xy      B. 5x+5y      C. 5x+50y      D. 50x+5y      E. 50x+50y

 

 

문제 해석:

 

“6. 십의 자리 숫자가 x이고 일의 자리 숫자가 y인 두 자리 숫자가 5로 곱해졌을 때, 곱셈 결과의 값은 무엇인가?”

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 두 자리 숫자의 구성과 분배 법칙을 요구합니다. 두 자리 숫자는 십의 자리와 일의 자리 숫자로 구성되며, 이를 수식으로 나타낼 수 있어야 합니다. 또, 곱셈에서 분배 법칙을 적용할 수 있어야 합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 이 문제를 풀기 위해 두 자리 숫자를 먼저 이해해야 합니다. 두 자리 숫자는 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자로 구성되며, 이를 수식으로 나타내면 10x + y로 표현할 수 있습니다. 이 숫자를 5로 곱하면 다음과 같이 됩니다.

 

5 × (10x + y)

 

강쌤: 분배법칙을 적용하면,

 

5 × (10x + y)

= 50x + 5y

 

강쌤: 따라서 올바른 답은 D. 50x + 5y입니다.

 

 

 

 

7. Distribution of Households in the United States by Number of People in Household, 1970 and 2018

 

Number of People in Household	1	2	3	4	5	6	7 or more	Total Number of Households (in millions)
1970	17%	29%	17%	16%	10%	6%	5%	63.4
2018	28%	35%	15%	13%	6%	2%	1%	127.6

 

 

Based on the table shown, approximately what is the ratio of the number of households with less than 5 people in the household in 2018 to the number of households with less than 5 people in the household in 1970?

 

   A. 3 to 7      B. 8 to 9      C. 9 to 8      D. 5 to 3      E. 7 to 3

 

 

문제 해석:

 

“7. 표를 기준으로, 1970년 가구 내 5인 미만 가구 수 대비 2018년 가구 내 5인 미만 가구 수의 비율은 대략적으로 얼마인가?”

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 백분율 계산, 비율과 비, 산술 연산을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 각 연도의 가구 수에서 백분율을 사용하여 특정 조건(여기서는 5명 미만)의 가구 수를 계산해야 하고, 두 수치의 비율을 계산하고, 주어진 선택지와 비교하여 정확한 답을 도출해야 합니다. 이런 과정에서 기본적인 곱셈과 나눗셈 연산을 수행하여 백분율로 주어진 값을 실제 수치로 변환하고, 그 수치들 간의 비율을 계산해야 합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 주어진 표를 바탕으로 2018년에 5명 미만의 가구 수와 1970년에 5명 미만의 가구 수의 비율을 구하는 문제를 해결하겠습니다. 먼저 1970년과 2018년 각각의 총 가구 수를 확인하면,

 

1970년: 63.4백만 가구

2018년: 127.6백만 가구

 

강쌤: 5명 미만의 가구 수를 계산하면,

 

1970년: 17% + 29% + 17% + 16% = 79%

2018년: 28% + 35% + 15% + 13% = 91%

 

강쌤: 각 연도의 5명 미만 가구 수를 백만 단위로 계산하면,

 

1970년: 63.4백만 × 0.79 = 50.086백만

2018년: 127.6백만 × 0.91 = 116.116백만

 

강쌤: 2018년 5명 미만 가구 수를 1970년 5명 미만 가구 수와 비교하여 비율을 구하면,

 

116.116백만 : 50.086백만 ≒ 116 : 50 = 58 : 25 ≒ 56 : 24 = 7 : 3

 

강쌤: 따라서, 정답은 E. 7 to 3입니다.

 

 

 

 

8. Let A be the set of integers between 1 and 100 that when divided by 5, have a remainder of 2. Let B be the set of integers between 1 and 100 that when divided by 6 have a remainder of 1. How many integers are in the set A∩B?

 

   A. 0      B. 3      C. 4      D. 36      E. 37

 

 

문제 해석:

 

“8. 1과 100 사이의 정수 중에서 5로 나눴을 때 나머지가 2인 정수들로 이루어진 집합 A가 있다. 또한, 1과 100 사이의 정수 중에서 6으로 나눴을 때 나머지가 1인 정수들로 이루어진 집합 B가 있다. 집합 A∩B에는 몇 개의 정수가 있는가?”

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 나머지 계산과 집합 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 어떤 정수가 특정 수로 나눠질 때 나머지를 계산하는 방법을 이해하고 활용해야 합니다. 이 문제에서는 5로 나눴을 때 나머지가 2가 되는 수와 6으로 나눴을 때 나머지가 1이 되는 수를 찾는 것이 필요합니다. 또, 집합의 정의와 집합 간의 연산(특히 교집합)을 이해해야 합니다. 이 문제에서는 두 집합의 교집합(A∩B)을 찾아야 합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 먼저, 집합 A부터 살펴보겠습니다. 집합 A는 1부터 100 사이의 정수 중에서 5로 나누었을 때 나머지가 2인 수들입니다.

 

A = {2, 7, 12, 17, 22, 27, … , 97}

 

강쌤: A의 원소들은 다음과 같은 형태를 가집니다.

 

a = 5k + 2

 

강쌤: 여기서 k는 0부터 19까지의 정수입니다.

 

초롱: 집합 B는 어떻게 표현되나요?

강쌤: 집합 B는 1부터 100 사이의 정수 중에서 6으로 나누었을 때 나머지가 1인 수들입니다.

 

B = {1, 7, 13, 19, 25, 31, … , 97}

 

강쌤: B의 원소들은 다음과 같은 형태를 가집니다.

 

b = 6m + 1

 

강쌤: 여기서 m는 0부터 16까지의 정수입니다.

 

초롱: 교집합 A∩B를 어떻게 찾아야 하나요?

강쌤: A와 B의 교집합을 찾기 위해서는 a와 b의 공통된 수를 찾아야 합니다. 즉, 다음 방정식을 만족하는 m을 찾으면 됩니다.

 

5k + 2 = 6m + 1,

5k = 6m - 1,

k = 6m/5 - 1/5

 

강쌤: k와 m은 정수라야 하므로 6m은 5로 나눌 때 나머지가 1이라야 합니다. 이 조건을 만족하려면 6m의 1의 자리수가 6이라야 합니다. 즉, 6, 16, 26, 36, ..., 96. m은 0≤m≤16이므로 17개의 정수들 중 이 조건을 만족하는 m은 다음 4개입니다.

 

m=1, 6, 11, 16

k=1, 7, 13, 19

 

강쌤: 5로 나눌 때 나머지 2가 되고 6으로 나눌 때 나머지 1이 되는 수는 {7, 37, 67, 97}입니다. 이는 총 4개의 원소를 갖습니다. 따라서 정답은 C입니다.

 

 

 

9.

 

The figure above shows a circular dartboard at which players throw darts. A player earns 3 points each time a dart hits the shaded region and p points each time a dart hits the unshaded circular region. If a player earns a total of 47 points for a number of darts that hit the dartboard, which of the following could be the value of p?

 

Indicate all such values.

 

A. 11 B. 12 C. 13

 

Select one or more answer choices.

 

 

문제 해석:

 

“9. 위 그림은 플레이어가 다트를 던지는 원형 다트판을 보여준다. 플레이어가 음영이 있는 영역에 다트를 맞출 때마다 3점을 얻고, 음영이 없는 원형 영역에 다트를 맞출 때마다 p점을 얻는다. 한 플레이어가 다트판에 다트를 맞춰 총 47점을 얻었다면, p의 가능한 값은 무엇인가?”

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 1차 방정식과 배수 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 주어진 점수 조건을 만족하는 정수해를 찾기 위해, 1차 방정식을 다루는 능력이 필요합니다. 3x+py=47의 형태로 주어진 방정식을 풀어야 합니다. 또, 특정 y 값에 대해 방정식의 나머지 부분이 3의 배수가 되는지 확인해야 합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 플레이어가 음영이 있는 영역에 다트를 맞춘 횟수를 x, 음영이 없는 영역에 맞춘 횟수를 y라고 하면, 총 점수는 다음과 같습니다.

 

3x + py = 47,

3x = 47 - py

 

강쌤: 이 식을 만족하는 (x, y) 값 조합을 찾아야 하며, p의 가능한 값을 선택지에서 확인합니다.

 

1) p=11일 때, 3x = 47 - 11y

 

강쌤: 0 ≤ y ≤ 4, 즉 y = {0, 1, 2, 3, 4}이므로 (47 - 11y)가 3의 배수가 되게 하는 y는 y=1, y=4일 때입니다. y=1일 때 3x=36, y=4일 때 3x=3은 각각 3의 배수가 되므로 p=11은 가능한 점수입니다.

 

2) p=12일 때, 3x = 47 - 12y

 

강쌤: 0 ≤ y ≤ 3, 즉 y = {0, 1, 2, 3}이므로 (47 - 12y)가 3의 배수가 되게 하는 y는 없습니다. 그러므로 p=12는 가능한 점수가 아닙니다.

 

3) p=13일 때, 3x = 47 - 13y

 

강쌤: 0 ≤ y ≤ 3, 즉 y = {0, 1, 2, 3}이므로 (47 - 13y)가 3의 배수가 되게 하는 y는 y=2일 때입니다. y=2일 때, 3x=21은 3의 배수가 되므로 p=13은 가능한 점수입니다. 따라서 정답은 A. 11과 C. 13입니다.

 

 

 

 

10. Last week Tom worked x hours and earned $256, and Frank worked y hours and earned $144. If Tom and Frank worked a combined total of 50 hours last week and they were paid the same constant hourly rate, how many more hours did Tom work than Frank?

 

   A. 12      B. 14      C. 17      D. 18      E. 32

 

 

문제 해석:

 

“10. 지난 주 Tom은 x 시간을 일하고 $256를 벌었고, Frank는 y 시간을 일하고 $144를 벌었다. Tom과 Frank는 지난 주에 합쳐서 50시간을 일했고, 그들은 동일한 시간당 급여를 받았다. Tom이 Frank보다 몇 시간을 더 일했나?”

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 비례 관계, 1차 방정식, 연립 방정식 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, Tom과 Frank가 동일한 시간당 급여를 받았으므로, 그들의 총 수입과 일한 시간 사이에 비례 관계가 성립합니다. 이 개념을 이해해야 문제를 풀 수 있습니다. x+y=50와 같은 1차 방정식을 사용하여 두 변수 x와 y의 관계를 표현합니다. 두 방정식을 연립하여 풀어야 하기 때문에 1차 방정식의 해법을 이해해야 합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: Tom과 Frank는 동일한 시간당 급여를 받았으므로, 시간당 급여를 구할 수 있습니다. Tom이 일한 시간을 x, Frank가 일한 시간을 y라고 하면, Tom의 시간당 급여는 256/x이고, Frank의 시간당 급여는 144/y입니다. 두 값이 동일하므로, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

강쌤: 위 식을 y에 대해 정리하면,

 

256y = 144x,

 

강쌤: Tom과 Frank가 합쳐서 50시간을 일했으므로, 다음과 같은 식이 성립합니다.

 

x + y = 50,

y = 50 - x

 

강쌤: y=50-x를 256y=144x에 대입하면,

 

256(50-x) = 144x,

12,800 - 256x = 144x,

12,800 = 400x,

32 = x

 

강쌤: x=32를 y=50-x에 대입하면,

 

y=50-32 = 18

 

강쌤: Tom이 Frank보다 더 일한 시간은 x - y이므로,

 

x - y = 32 - 18 = 14

 

강쌤: 따라서, Tom이 Frank보다 14시간 더 일했으므로 정답은 B. 14입니다.

 

 

 

 

11. The ratio of the number of freshmen to the number of sophomores enrolled in a psychology course was 2 to 1. After 2 freshmen added the course and 1 sophomore dropped the course, the ratio of the number of freshmen to the number of sophomores changed to 9 to 4. How many sophomores were originally enrolled in the course?

 

                              ____________ sophomores

 

 

문제 해석:

 

“11. 심리학 과목에 등록한 신입생과 2학년생의 비율이 2:1이었다. 두 명의 신입생이 그 과목에 추가되고, 한 명의 2학년생이 그 과목을 그만둔 후, 신입생과 2학년생의 비율이 9:4로 변경되었다. 원래 몇 명의 2학년생이 이 과목에 등록했는가?

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 비율(Ratio) 개념과 방정식 설정 및 해석을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 문제에서 신입생과 2학년생의 비율을 이해하고 설정하는 능력이 필요합니다. 비율을 이용하여 두 변수 사이의 관계를 나타냅니다. 또, 문제에서 주어진 조건을 바탕으로 방정식을 세우고 이를 해석할 수 있어야 합니다. 여기서는 비율 조건을 방정식으로 변환하는 과정이 포함됩니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 신입생의 수를 F라고 하고, 2학년생의 수를 S라고 하면, 주어진 초기 비율은

 

F : S = 2 : 1

F = 2S

 

강쌤: 두 명의 신입생이 추가되었으므로 신입생의 수는 2F+2가 되고, 한 명의 2학년생이 그만뒀으므로 2학년생의 수는 S−1이 됩니다. 그러면, 새로운 비율은

 

F+2 : S-1 = 9 : 4

4(F+2) = 9(S-1),

 

강쌤: F=2S를 위 식에 대입하면

 

4(2S+2) = 9(S-1),

8S + 8 = 9S - 9,

17 = S

 

강쌤: 따라서, 원래 등록된 2학년생은 17명입니다.

 

 

 

 

12. The circles with centers P and O have radii 6 and 2, respectively and are tangent to each other. Line 𝑙 is tangent to the circles at points A and B as shown. What is the length of line segment AB?

 

A. B. C. D. 8      E. 10

 

 

문제 해석:

 

“12. 중심이 P와 O인 두 원이 각각 반지름 6과 2이며 서로 접하고 있다. 선 𝑙은 두 원에 각각 접하는 점 A와 B에서 접선이다. 선분 AB의 길이는 얼마인가?”

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 원의 접선, 접하는 원, 직각삼각형 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 원의 접선은 원의 반지름에 수직입니다. 따라서 접선과 접점에서 원의 중심을 연결하는 선은 직각을 이룹니다. 또, 두 원이 서로 외접할 때, 두 원의 중심 사이의 거리는 두 원의 반지름의 합과 같습니다. 또, 직각삼각형에서 두 변의 길이를 알면, 나머지 변의 길이를 피타고라스 정리를 이용해 구할 수 있습니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 우리는 선분 AB의 거리를 구하기 위해, 다음 그림과 같이 직사각형 원리, 직각삼각형의 원리, “두 원이 서로 외접할 때, 두 원의 중심 사이의 거리는 두 원의 반지름의 합과 같다”는 원리를 이용할 것입니다.

 

 

강쌤: 선분 BC는 작은 원의 중심을 지나는 수직선이고, 선분 PC는 선분 AB와 평행하므로 두 선분 PC와 AB의 길이는 같습니다. 두 선분 PA와 BC도 같으므로 사각형 PABC는 직사각형이 됩니다.

 

강쌤: 삼각형 POC는 직각삼각형입니다. 이 삼각형의 빗변은 6+2=8이고 선분 OC의 길이는 6-2=4가 됩니다.

 

강쌤: 삼각형 POC는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 이용해서 x값을 구할 수 있습니다. 즉,

 

,

,

 

강쌤: 선분 PC의 길이는 선분 AB의 길이와 같으므로 선분 AB의 길이는 임을 알 수 있습니다. 그래서 정답은 A입니다.

 

 

 

 

13. A report contains a list of the annual salaries of 100 professionals at a firm including Raj. All of the salaries are different, and 52 percent of the salaries are less than or equal to Raj’s salary. If the 15 lowest salaries and the 5 highest salaries were to be removed from the list, approximately what percent of the remaining salaries would be less than or equal to Raj’s salary?

 

   A. 37%      B. 42%      C. 44%      D. 46%      E. 65%

 

 

문제 해석:

 

“13. 한 보고서는 Raj를 포함한 회사의 100명의 전문가들의 연봉 목록을 포함한다. 모든 연봉은 서로 다르고, 그 연봉들의 52%는 Raj의 연봉보다 작거나 같다. 만약 가장 낮은 연봉 15개와 가장 높은 연봉 5개를 그 목록에서 제거한다면, 나머지 연봉 중 대략 몇 퍼센트가 Raj의 연봉보다 작거나 같을까?”

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 백분율(Percentage), 순위(Rank), 부분집합(Subset) 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 백분율을 이용하여 비율을 계산하고, 주어진 비율을 통해 개수를 구합니다. 예를 들어, 전체의 52%가 Raj의 연봉보다 작거나 같다는 것을 바탕으로 그 개수를 계산합니다. 또, 리스트 내에서 특정 값의 순위를 이해하고, 요소들을 제거한 후에도 해당 순위가 어떻게 변화하지 않는지를 이해합니다. 또, 전체 집합에서 일부 요소를 제거하고 남은 요소의 비율을 구하는 문제입니다. 이 문제에서는 100개의 요소에서 20개(가장 낮은 15개와 가장 높은 5개)를 제거하고 남은 80개의 요소를 다룹니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 전체 연봉 목록에는 총 100개의 연봉이 있습니다. Raj의 연봉보다 작거나 같은 연봉이 전체 연봉의 52%입니다. 따라서 Raj의 연봉보다 작거나 같은 연봉의 개수는 몇 개일까요?

 

초롱: ???

강쌤: 100개의 52%이므로 100 x (52/100) = 52개입니다. 이제 목록에서 가장 낮은 15개 연봉과 가장 높은 5개 연봉을 제거하면, 나머지 연봉 목록에는 몇 개가 남을까요?

 

초롱: 80개요.

강쌤: 그렇죠. 100 - 15 - 5 = 80입니다. Raj의 연봉은 원래 52번째 연봉입니다. 목록에서 가장 낮은 15개 연봉을 제거하면 Raj의 순위는 어떻게 될까요?

 

초롱: 37번째입니다.

강쌤: 그렇죠. 이 경우에 Raj의 연봉보다 작거나 같은 나머지 연봉의 개수는 52 - 15 = 37개입니다. 그렇다면 Raj의 연봉보다 작거나 같은 연봉의 비율은 어떻게 될까요?

 

초롱: ???

강쌤: 나머지 80개의 연봉 중에서 Raj의 연봉보다 작거나 같은 연봉의 비율은 (37 / 80) = 0.4625 ≒ 46%입니다. 따라서 정답은 D. 46%입니다.

 

 

 

14.

The figure shows a normal distribution with mean m and standard deviation d, including approximate percents of the distribution corresponding to the six regions shown.

 

The distribution of the random variable W is normal with mean 30.0. The value 17.6 is at the 6th percentile of the distribution. Which of the following is the best estimate of the standard deviation of the distribution?

 

   A. 2.0      B. 4.0      C. 8.0      D. 12.0      E. 14.0

 

 

문제 해석:

 

“14. 그림은 평균 m과 표준 편차 d를 갖는 정규 분포를 보여주고 있으며, 여섯 구역에 해당하는 분포의 대략적인 퍼센트가 포함되어 있다.

 

확률 변수 W의 분포는 평균 30.0을 갖는 정규 분포이다. 값 17.6은 분포의 6번째 백분위수(6%)에 해당된다. 다음 중 분포의 표준편차에 대한 가장 좋은 추정치는 무엇인가?“

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 정규분포(Normal Distribution), 백분위수(Percentiles), 특정 값이 정규분포에서 차지하는 위치 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 정규분포는 평균(mean)과 표준편차(standard deviation)를 사용하여 분포의 특성을 정의합니다. 백분위수는 분포에서 데이터 값의 위치를 나타내는 척도로, 6번째 백분위수는 데이터의 하위 6%에 해당하는 값을 의미합니다. 특정 값이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 표준편차 단위로 나타내는 개념을 알아야 합니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 이 문제는 정규분포에서 평균(m)이 30.0이고, 6번째 백분위수가 17.6인 값의 표준편차는 얼마인지 묻고 있습니다. 값 17.6이 6번째 백분위수에 해당한다는 것은, 해당 값이 정규분포에서 하위 6% 지점에 위치함을 의미합니다. 이것을 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

강쌤: 위 그림에서 데이터 17.6은 정규분포에서 하위 6% 지점에 위치해 있습니다. 17.6은 다음과 같은 크기를 같습니다.

 

m - 2d < 17.6 < m - d

 

강쌤: m은 30이므로 17.6의 범위는 다음과 같습니다.

 

30 - 2d < 17.6 < 30 - d

 

강쌤: (30 - 2d)는 대략 14, (30 - d)는 대략 22 정도임을 알 수 있습니다. 즉,

 

30 - 2d = 14, 30 - d = 22

d = 8

 

강쌤: 따라서, 표준 편차의 가장 좋은 추정치는 8.0입니다. 정답은 C. 8.0입니다.

 

 

 

15. A certain restaurant offers each customer a combination dinner consisting of a choice of any entree, a choice of any beverage and a choice of any dessert. The number of different combination dinners that are possible is 90. Which of the following CANNOT be the number of desserts available to be chosen for a combination dinner?

 

   A. 2      B. 3      C. 4      D. 5      E. 6

 

 

문제 해석:

 

“15. 어떤 레스토랑에서는 각 고객에게 모든 주요 요리 중에서 선택, 모든 음료 중에서 선택, 그리고 모든 디저트 중에서 선택할 수 있는 콤비네이션 저녁식사를 제공한다. 가능한 다른 콤비네이션 저녁식사의 수는 90가지입니다. 콤비네이션 저녁식사에서 선택할 수 있는 디저트의 수가 될 수 없는 것은 무엇인가?”

 

 

이 문제가 요구하는 수학 개념:

 

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 곱의 법칙, 약수, 소인수분해 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 곱의 법칙은 서로 다른 선택의 수를 곱해서 전체 가능한 조합의 수를 구하는 개념입니다. 예를 들어, 주 요리의 수, 음료의 수, 디저트의 수를 각각 곱해서 총 가능한 조합의 수를 계산합니다. 또, 약수는 주어진 수를 나눠서 떨어지게 하는 수를 찾는 개념입니다. 90의 약수를 찾아서 주 요리와 음료의 수로 나눈 결과가 디저트의 수가 될 수 있는지를 확인합니다. 소인수분해는 수를 소인수로 분해하여 약수를 구하는 방법입니다.

 

 

문제 풀이:

 

강쌤: 이 문제는 가능한 조합의 수를 주어진 조건에 따라 나눠야 하는 문제입니다. 우선, 가능한 조합의 수가 90개라는 것을 알고 있습니다. 이 조합은 주 요리의 수, 음료의 수, 디저트의 수를 곱한 값입니다. 따라서 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.

 

주요 요리의 수 × 음료의 수 × 디저트의 수 = 90

 

강쌤: 여기서 디저트의 수를 구하려면, 90을 주요 요리와 음료의 수로 나눈 값이어야 합니다. 주요 요리와 음료의 수가 어떤 값인지는 문제에서 주어지지 않았지만, 디저트의 수가 될 수 없는 경우를 찾는 것이 목표입니다.

 

초롱: 어떻게 디저트의 수가 될 수 없는 경우를 찾을 수 있나요?

강쌤: 주요 요리의 수, 음료의 수, 디저트의 수는 모두 90의 약수라야 합니다. 따라서 디저트의 수가 될 수 없는 경우는 90의 약수가 될 수 없는 수입니다. 90의 약수는 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90입니다. 선택지들 중 2, 3, 5, 6은 90의 약수인데, 4는 90의 약수가 아닙니다. 따라서, 4는 가능한 디저트의 수가 될 수 없습니다. 정답은 C. 4입니다.