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Shorter GRE Math 모의테스트 6 (2023년 중국후기) – 자세한 해설

작성자 강쌤
조회 172
등록일 2024. 08. 05
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Shorter GRE Math 모의테스트 6

(2023년 중국후기) – 자세한 해설

1. S = {11, 12, 14, 17, k}, T = {n, 14, 17, 19, 21, 23}

k is an integer greater than 17, and n is an integer less than 14.

Quantity A

The fraction of the integers in set T that are in the set S∩T

Quantity B

$\frac{1}{2}$

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

문제 해석:

“1. S = {11, 12, 14, 17, k}, T = {n, 14, 17, 19, 21, 23}, 여기서 k는 17보다 큰 정수이고, n은 14보다 작은 정수이다.

수량 A: 집합 T에 있는 정수 중에서 집합 S∩T에 있는 정수의 비율

수량 B: 1/2

“

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 집합과 교집합, 정수의 범위와 조건, 비율과 분수의 계산을 요구하고 있습니다. 구체적으로 살펴보면, 집합 S와 T의 원소를 파악하고, 두 집합의 교집합(S∩T)을 구하는 능력이 필요합니다. 교집합은 두 집합에 모두 속하는 원소들의 집합입니다. 또, k와 n의 조건 (k는 17보다 크고, n은 14보다 작은 정수) 을 고려하여 가능한 값을 도출하는 능력이 필요합니다. 또, 집합 T에 속하는 원소 중 교집합에 속하는 원소의 비율을 계산하는 능력이 필요합니다.

문제 풀이:

강쌤: k와 n의 조건에 따라 교집합에 속하는 원소의 비율이 달라집니다.

1) k가 19, 21, 23 중 하나이고, n이 11 또는 12일 때

S = {11, 12, 14, 17, k}

T = {n, 14, 17, 19, 21, 23}

강쌤: 이때 S와 T의 교집합은 다음과 같습니다.

S∩T = {n, 14, 17, k}

S∩T의 원소 수 = 4

T의 원소 수 = 6

강쌤: 수량 A(집합 T에 있는 정수 중에서 집합 S∩T에 있는 정수의 비율)은 4/6 = 2/3이므로 수량 B(1/2)보다 큽니다.

2) k가 19, 21, 23 중 하나이고, n이 11 또는 12가 아닐 때

강쌤: 이때 S와 T의 교집합은 다음과 같습니다.

S∩T = {14, 17, k}

S∩T의 원소 수 = 3

T의 원소 수 = 6

강쌤: 수량 A(집합 T에 있는 정수 중에서 집합 S∩T에 있는 정수의 비율)은 3/6 = 1/2이므로 수량 B(1/2)와 같습니다.

3) k가 19, 21, 23 중 하나가 아니고, n이 11 또는 12일 때

강쌤: 이때 S와 T의 교집합은 다음과 같습니다.

S∩T = {n, 14, 17}

S∩T의 원소 수 = 3

T의 원소 수 = 6

강쌤: 수량 A(집합 T에 있는 정수 중에서 집합 S∩T에 있는 정수의 비율)은 3/6 = 1/2이므로 수량 B(1/2)와 같습니다.

4) k가 19, 21, 23 중 하나가 아니고, n이 11 또는 12가 아닐 때

강쌤: 이때 S와 T의 교집합은 다음과 같습니다.

S∩T = {14, 17}

S∩T의 원소 수 = 2

T의 원소 수 = 6

강쌤: 수량 A(집합 T에 있는 정수 중에서 집합 S∩T에 있는 정수의 비율)은 2/6 = 1/3이므로 수량 B(1/2)보다 작습니다.

강쌤: 이상에서 살펴본 바와 같이 k와 n의 조건에 따라 교집합에 속하는 원소의 비율이 달라지므로 정답은 D입니다.

2. The average(arithmetic mean) of the 56 measurements in a certain list is k. After one of the measurements is removed from the list, the average of the remaining measurements in the list is k+2.

Quantity A

The measurement that is removed from the list

Quantity B

k-110

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

문제 해석:

“2. 56개의 측정값이 포함된 목록의 평균(산술평균)은 k이다. 목록에서 하나의 측정값이 제거된 후 남은 측정값의 평균은 k+2가 된다.

수량 A: 제거된 측정값

수량 B: k-110

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 평균(산술 평균) 개념과 방정식을 세우고 푸는 능력이 요구됩니다. 구체적으로 살펴보면, 주어진 데이터 집합의 평균을 구하는 방법을 이해하고 있어야 합니다. 평균은 데이터의 합을 데이터의 개수로 나누어 계산합니다. 또, 방정식을 세우고 푸는 능력이 필요합니다. 문제에서 주어진 정보를 사용하여 방정식을 세우고 이를 통해 원하는 값을 계산해야 합니다.

문제 풀이:

강쌤: 평균은 ‘측정값의 합 ÷ 데이터의 개수’이므로 ‘평균 k = 측정값의 합 ÷ 56’이고, 측정값의 합은 56k입니다. 한 측정값을 제거한 후 남은 55개의 측정값의 평균은 k+2이므로 남은 55개의 측정값의 합은 55(k+2)입니다. 따라서 제거된 측정값을 x라고 하면 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다

56k−x = 55(k+2)

강쌤: 이 식을 풀어보면,

56k−x = 55k + 110,

x = k - 110

강쌤: 따라서 제거된 측정값은 k−110입니다. 이것은 수량 A가 됩니다. 수량 B도 k−110이므로, 두 수량은 같습니다. 따라서 정답은 C입니다.

3. For each value x in a list of values with mean m. the absolute deviation of x from the mean is defined as |x-m|. list K: -3, -2, -1, 4, 5, 6

Quantity A

the sum of the absolute deviations from the mean for the values in K

Quantity B

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

문제 해석:

“3. 리스트 K의 각 값 x에 대해 평균 m으로부터의 절대 편차는 |x-m|으로 정의됩니다. 리스트 K: -3, -2, -1, 4, 5, 6

수량 A: 리스트 K의 값들에 대해 평균으로부터의 절대 편차들의 합

수량 B: 21

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 평균(Mean)과 절대값(Absolute Value) 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 리스트에 있는 값들의 평균을 구하는 방법을 알아야 합니다. 평균은 모든 값을 더한 후 값들의 개수로 나눈 값입니다. 또, 절대값은 숫자의 크기를 나타내며, 양수는 그대로, 음수는 양수로 변환됩니다. 즉, |x|는 x가 양수일 때 x, 음수일 때 -x입니다.

문제 풀이:

강쌤: ‘평균으로부터의 절대 편차들의 합’을 구하려면, 우선 평균을 구해야 합니다. 그런 다음, 각 값의 절대 편차를 구한 후 그것들의 합을 구하면 됩니다.

1) 리스트 K의 평균(m)

강쌤: 평균(m)은 ‘측정 수치들의 합 ÷ 데이터의 개수’입니다. 리스트 K의 수치들은 -3, -2, -1, 4, 5, 6이고 이것들의 합은 다음과 같습니다.

측정 수치들의 합 = (-3) + (-2) + (-1) + 4 + 5 + 6 = 9

평균(m) = 9 ÷ 6 = 9/6 = 3/2

2) 각 측정 수치에 대한 평균으로부터의 절대 편차

-3의 절대 편차: | -3 - 1.5 | = | -4.5 | = 4.5

-2의 절대 편차: | -2 - 1.5 | = | -3.5 | = 3.5

-1의 절대 편차: | -1 - 1.5 | = | -2.5 | = 2.5

4의 절대 편차: | 4 - 1.5 | = | 2.5 | = 2.5

5의 절대 편차: | 5 - 1.5 | = | 3.5 | = 3.5

6의 절대 편차: | 6 - 1.5 | = | 4.5 | = 4.5

3) 절대 편차들의 합

강쌤: 절대 편차들의 합은 다음과 같습니다.

절대 편차들의 합 = 4.5 + 3.5 + 2.5 + 2.5 + 3.5 + 4.5 = 21

강쌤: 수량 A: 리스트 K의 값들에 대해 평균으로부터의 절대 편차들의 합은 21이고, 수량 B: 21이므로 두 수량은 같습니다. 그래서 정답은 C입니다.

List L: 12, 15, 16, 18

List M: 2, 3, 5

A number x is to be chosen at random from the numbers in list L, and a number y is to be chosen at random from the numbers in list M.

Quantity A

The probability that the value of $\frac{x}{y}$ will be an even integer

Quantity B

$\frac{1}{2}$

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

문제 해석:

“4. 리스트 L: 12, 15, 16, 18이고, 리스트 M: 2, 3, 5이다.

숫자 x는 리스트 L에서 무작위로 선택되고, 숫자 y는 리스트 M에서 무작위로 선택된다.

수량 A: $\frac{x}{y}$ 의 값이 짝수 정수가 될 확률

수량 B: $\frac{1}{2}$

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 확률, 나눗셈과 배수, 경우의 수 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 확률의 기본 정의와 계산 방법을 이해해야 합니다. 이 문제에서는 특정 조건을 만족하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누어 확률을 계산합니다. (여기서 x와 y가 독립적으로 선택되는 것을 의미). 나누기 연산을 통해 짝수 정수가 되는 경우를 식별할 수 있어야 합니다. 각 리스트에서 가능한 모든 조합을 고려하여 조건을 만족하는 경우의 수를 구할 수 있어야 합니다.

문제 풀이:

강쌤: 수량 A의 “x/y 의 값이 짝수 정수가 될 확률”을 구하려면, 우선 x/y 의 값이 짝수 정수가 되는 경우의 수를 살펴봐야 합니다. x/y가 짝수 정수가 되려면 x는 y의 배수이면서 짝수여야 합니다. 리스트 L에서 짝수인 숫자는 12, 16, 18입니다. 리스트 M에서 y가 될 수 있는 숫자는 2, 3, 5입니다. 각 x에 대해 가능한 x/y가 짝수 정수가 되는 경우를 살펴보겠습니다.

1) x=12일 때

12/2 = 6 (짝수 정수)

12/3 = 4 (짝수 정수)

12/5 = 2.4 (짝수 정수가 아님)

2) x=16일 때

16/2 = 8 (짝수 정수)

16/3 ≈ 5.33 (짝수 정수가 아님)

16/5 = 3.2 (짝수 정수가 아님)

3) x=18일 때

18/2 = 9 (짝수 정수가 아님)

18/3 = 6 (짝수 정수)

18/5 = 3.6 (짝수 정수가 아님)

강쌤: 따라서, x에 대해 가능한 x/y가 짝수 정수가 되는 경우는 12/2 = 6, 12/3 = 4, 16/2 = 8, 18/3 = 6으로 경우의 수는 4개입니다. 전체 경우의 수는 4x3 = 12이므로 “수량 A: x/y의 값이 짝수 정수가 될 확률”은 4/12 = 1/3입니다. 이것은 수량 B의 1/2보다 작으므로 정답은 B입니다.

BD = $\frac{1}{2}$ (AE)

Quantity A

The ratio of the area of △BCD to the area of △ACE

Quantity B

$\frac{1}{4}$

A. Quantity A is greater.

B. Quantity B is greater.

C. The two quantities are equal.

D. The relationship cannot be determined from the information given.

문제 해석:

“5.

BD = $\frac{1}{2}$ (AE)

수량 A: △BCD의 면적과 △ACE의 면적 비율

수량 B: $\frac{1}{4}$

“

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 삼각형의 면적 계산, 비율과 비례 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 삼각형의 면적을 계산하는 공식인 (1/2)×밑변×높이를 알고 있어야 합니다. 또, 삼각형의 변과 높이의 비율을 이해하고, 비례식을 세우는 능력이 필요합니다. 문제에서는 밑변과 높이의 비례 관계를 파악하는 것이 중요합니다.

문제 풀이:

강쌤: 문제에 밑변의 길이에 대한 정보가 주어졌으니 높이에 대한 정보가 필요합니다. 비례식을 사용하여 높이의 비율을 확인할 수 있습니다. 즉,

큰 삼각형 밑변: 작은 삼각형 밑변 = 큰 삼각형 높이 : 작은 삼각형 높이

AE : BD = CE : CD

강쌤: 큰 삼각형의 밑변 AE의 길이를 2x라고 하면 작음 삼각형의 밑변 BD의 길이는 x입니다. 큰 삼각형의 높이 CE의 길이를 y, 작은 삼각형의 높이 CD의 길이를 z라고 하면 다음 비례식이 성립합니다.

2x : x = y : z

강쌤: 이 비례식을 풀면,

xy = 2xz,

y = 2z

강쌤: y = 2z는 큰 삼각형의 높이가 작은 삼각형의 높이의 2배라는 뜻입니다. 이제 “수량 A: △BCD의 면적과 △ACE의 면적 비율”을 계산하기 위해 먼저 큰 삼각형과 작은 삼각형의 면적부터 구하겠습니다.

큰 삼각형 면적 = $\frac{1}{2} (2x)(2z) = 2xz$

작은 삼각형 면적 = $\frac{1}{2} xz$

강쌤: “수량 A: △BCD의 면적과 △ACE의 면적 비율”을 계산하면 다음과 같습니다.

“수량 A: △BCD의 면적과 △ACE의 면적 비율” = $\frac{\frac{1}{2}xz}{2xz} = \frac{1}{4}$

강쌤: 수량 A는 1/4이고 수량 B도 1/4이므로 정답은 C입니다.

6. For x=97, which of the following fractions has the least value?

A. $\frac{97}{x}$

B. $\frac{x}{x+1}$

C. $\frac{x}{x-1}$

D. $\frac{x+1}{x}$

E. $\frac{x-1}{x}$

문제 해석:

“6. x=97일 때, 다음 분수 중 가장 작은 값을 가지는 것은 무엇인가?”

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 분수의 개념과 수학적 변환 방법을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 분수의 크기를 비교하는 방법을 알아야 합니다. 예를 들어, 같은 분자를 가진 분수에서는 분모가 클수록 값이 작아지고, 같은 분모를 가진 분수에서는 분자가 클수록 값이 커진다는 것을 이해해야 합니다. 또, 문제를 쉽게 풀기 위해 수학적 변환을 사용하는 능력도 요구됩니다. 예를 들어, 97/98과 96/97의 크기를 비교하기 위해 [1 - (97/98)]과 [1 - (96/97]을 활용할 수 있습니다.

문제 풀이:

강쌤: 각 선택지를 계산하면 다음과 같습니다.

A. 97/x = 97/97 = 1

B. x/(x+1) = 97/98 < 1

C. x/(x-1) = 97/96 > 1

D. (x+1)/x = 98/97 > 1

E. (x-1)/x = 96/97 < 1

강쌤: 가장 작은 수는 1보다 작은 $\frac{97}{98}$ , $\frac{96}{97}$ 중 하나입니다. 이것은 $\frac{98}{99}$ 과 $\frac{998}{999}$ 중 어느 것이 작으냐를 묻는 것과 비슷합니다. 이런 경우에는 1에서 각 분수를 빼면 쉽게 비교할 수 있습니다. 즉,

$1 - \frac{97}{98} = \frac{98-97}{98} = \frac{1}{98}$ ,

$1 - \frac{96}{97} = \frac{97-96}{97} = \frac{1}{97}$

강쌤: $\frac{1}{98}$ 은 $\frac{1}{97}$ 보다 작습니다. 그래서,

$1 - \frac{97}{98} < 1 - \frac{96}{97}$

강쌤: 위 부등식의 양변에 1을 빼면,

$- \frac{97}{98} < - \frac{96}{97}$

강쌤: 위 부등식의 양변에 -1을 곱하면 부등호의 방향이 바뀝니다.

$\frac{97}{98} > \frac{96}{97}$

강쌤: 따라서 가장 작은 수는 $\frac{96}{97}$ 이므로 정답은 E. (x-1)/x입니다.

7. High School Survey of Departmental Use of Educational Software Packages

(responses from 240 departments)

Type of Educational Software Package	Percent of Departments Using Each Type of Package
Drill and Practice	56%
Exploratory	48%
Graphing	40%
Statistical	25%
Spreadsheet	20%
Symbolic Manipulation	15%

What is the greatest possible number of responding departments that could be using both exploratory and symbolic manipulation software packages?

A. 17 B. 36 C. 79 D. 115 E. 151

문제 해석:

“7. 고등학교에서 교육 소프트웨어 패키지 사용에 대한 설문조사 (240개 부서의 응답)

교육 소프트웨어 패키지 유형	각 패키지를 사용하는 부서의 비율
반복 연습	56%
탐구	48%
그래프 작성	40%
통계	25%
스프레드시트	20%
기호 조작	15%

탐구 소프트웨어 패키지와 기호 조작 소프트웨어 패키지 둘 다 사용하는 응답 부서의 최대 가능 수는 얼마인가?“

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 퍼센트 계산, 교집합, 두 요소의 최대값 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 각 소프트웨어 패키지를 사용하는 부서의 비율을 퍼센트로 주어졌고, 이를 실제 부서 수로 변환해야 합니다. 또, 두 소프트웨어 패키지를 동시에 사용하는 부서의 최대 수를 찾는 문제이므로, 두 집합의 교집합을 계산하는 능력이 필요합니다. 이때, 두 집합의 교집합의 최대 크기는 두 집합 중 작은 집합의 크기와 동일합니다.

문제 풀이:

강쌤: 이 문제에서는 두 소프트웨어 패키지를 사용하는 부서 수의 최대값을 구해야 합니다.

탐구 소프트웨어를 사용하는 부서 수:

240×0.48=115.2 (115개 부서가 탐구 소프트웨어 사용)

기호 조작 소프트웨어를 사용하는 부서 수:

240×0.15=36 (36개 부서가 기호 조작 소프트웨어 사용)

강쌤: 두 소프트웨어 패키지를 모두 사용하는 부서 수의 최대값은 두 패키지 중 적은 비율을 가지는 패키지를 사용하는 부서 수를 넘을 수 없습니다.

초롱: 왜요?

강쌤; 왜냐하면, 예를 들어 기호 조작 소프트웨어를 사용하는 부서가 36개인데, 그 이상 많은 부서가 탐구 소프트웨어와 기호 조작 소프트웨어를 동시에 사용할 수 없기 때문입니다. 따라서, 탐구 소프트웨어와 기호 조작 소프트웨어 둘 다 사용하는 부서의 최대값은 기호 조작 소프트웨어를 사용하는 36개 부서입니다. 정답은 B. 36입니다.

8. High School Survey of Departmental Use of Educational Software Packages

(responses from 240 departments)

Type of Educational Software Package	Percent of Departments Using Each Type of Package
Drill and Practice	56%
Exploratory	48%
Graphing	40%
Statistical	25%
Spreadsheet	20%
Symbolic Manipulation	15%

If a department uses exactly 2 of the types of software, how many different pairs are possible?

A. 12 B. 15 C. 18 D. 30 E. 36

문제 해석:

“8. 어떤 학과가 정확히 2가지 종류의 소프트웨어를 사용한다고 할 때, 가능한 다른 쌍의 개수는 몇 개인가?”

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 조합(combination) 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 조합은 순서에 상관없이 주어진 집합에서 요소를 선택하는 방법의 수를 계산하는 것입니다. 이 문제에서는 6가지 소프트웨어 중 2가지를 선택하는 경우의 수를 계산해야 하므로 조합 공식을 사용합니다. 조합의 공식은 다음과 같습니다.

$_{r}^{n}\textrm{C} = \frac{n!}{r! (n-r)!}$

여기서 n은 전체 요소의 수, r은 선택할 요소의 수입니다.

문제 풀이:

강쌤: 이 문제는 각 학과가 두 가지 종류의 소프트웨어를 사용하는 경우 가능한 모든 쌍의 개수를 요구합니다. 이를 위해서는 조합(combination) 개념을 사용합니다. 먼저, 주어진 소프트웨어 패키지의 종류는 총 6가지입니다. 따라서 n=6입니다. 선택할 요소의 수는 2가지입니다. 따라서 r=2입니다.

강쌤: 총 6가지 중 2가지를 선택하는 방법의 수는 다음과 같습니다.

$_{2}^{6}\textrm{C} = \frac{6!}{2! 4!} = \frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)(4\times 3\times 2\times 1)} = \frac{6\times 5}{2}= 15$

강쌤: 따라서, 가능한 다른 쌍의 개수는 15개입니다. 정답은 B. 15입니다.

9. If k and m are two-digit positive integers such that 𝑚!/𝑘!=132, what is the value of mk?

A. 99 B. 110 C. 120 D. 143 E. 156

문제 해석:

“9. k와 m이 두 자리 양의 정수일 때, m!/k! = 132를 만족한다. mk의 값은 얼마인가?”

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 팩토리얼(Factorial)과 소인수 분해(Prime Factorization) 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 팩토리얼은 자연수 n에 대해 n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×1로 정의됩니다. 문제에서는 팩토리얼의 성질을 활용해야 합니다. 또, 132를 소인수 분해하여 132=2×2×3×11로 나타내고, 이 값을 두 자리 정수 m과 k의 곱셈 형태로 찾는 과정이 필요합니다.

문제 풀이:

강쌤: k와 m은 두 자리 수이고, m!/k! = 132라는 조건에 따르면, m > k라는 것을 알 수 있습니다. m!/k! = 132는 다음 3가지 의미가 있습니다.

첫째, m!/k! = 132는 m! = 132k!라는 뜻입니다.

둘째, m!을 k!로 나누었을 때 132가 된다는 것은, m부터 k+1까지의 곱이 132라는 의미입니다.

셋째, 132는 m!의 일부가 되어야 하므로 연속된 두 자리 수의 곱이어야 합니다.

강쌤: 132를 소인수분해야 하면,

132 = 2 x 66 = 2 x 2 x 33 = 2 x 2 x 3 x 11 = 12 x 11

강쌤: m! = 132k!이므로 m!은 다음과 같습니다.

m! = 12 x 11 x k!

강쌤: k는 m보다 작은 두 자리 수라야 하므로 k=10이고 m=12임을 알 수 있습니다. 따라서 mk = 12 x 10 = 120이므로 정답은 C입니다.

10. An object was launched from the ground. The height h of the object, in meters, above the ground t seconds after it was launched can be modeled by the function

h(t) = -4.9t^2 + 29.4t, where 0≤t≤6.

According to the model, for which of the following values of t was the height of the object greater than 30 meters above the ground?

Indicate all such values.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Select one or more answer choices.

문제 해석:

“10. 어떤 물체가 지면에서 발사되었다. 발사된 후 t초 후의 물체의 높이 h(미터)는 다음 함수로 모델링할 수 있다.

h(t) = -4.9t^2 + 29.4t, 여기서 0≤t≤6이다.

모델에 따르면, 물체의 높이가 지면에서 30미터보다 높았던 t 값은 무엇인가?

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 이차함수, 완전제곱식 만들기, 최대값 찾기가 요구됩니다. 구체적으로 살펴보면, 주어진 함수 h(t)=−4.9t^2 + 29.4t는 이차 함수입니다. 이차 함수의 형태와 그 그래프의 특성을 이해해야 합니다. 또, 식을 완전제곱식으로 변형해서 이차 함수의 최고점을 찾아야 합니다. 이차 함수의 최고점은 포물선의 꼭짓점에서 발생하며, 이 문제에서는 그 꼭짓점이 높이의 최대값을 나타냅니다.

문제 풀이:

강쌤: 주어진 이차 함수를 완전제곱식으로 바꾸면 이 함수의 최고점뿐만 아니라 물체가 발사된 후 몇 초에 30미터보다 높은 곳에 있는지 아니면 낮은 곳에 있는지 알 수 있습니다.

h(t) = -4.9t^2 + 29.t = -4.9(t^2 - 6t) = -4.9(t^2 - 6t + 9 - 9) = -4.9(t - 3)^2 + 44.1

강쌤: 위 완전제곱식에 따르면, 어떤 물체가 발사된 지 3초 만에 44.1미터의 최고점에 도달한 후 하강합니다. 즉,

h(3) = 44.1

강쌤: 발사된 후 1초부터 5초까지 이 물체가 어떤 높이에 있는지 계산하면 다음과 같습니다.

h(1) = -19.6 + 44.1 = 24.5, 이것은 30미터보다 낮으므로 오답

h(2) = -4.9 + 44.1 = 39.2, 이것은 30미터보다 높으므로 정답

h(3) = 44.1, 이것은 30미터보다 높으므로 정답

h(4) = -4.9 + 44.1 = 39.2, 이것은 30미터보다 높으므로 정답

h(5) = -19.6 + 44.1 = 24.5, 이것은 30미터보다 낮으므로 오답

강쌤: 발사된 후 2초, 3초, 4초일 때 각각 30미터보다 위에 있으므로 정답은 B, C, D입니다.

11. Let p be the product of the integers from 1 to 200. What is the exponent of the prime number 7 in the prime factorization of p?

________________

Enter your answer as an integer or a decimal in the answer box.

문제 해석:

“11. 1부터 200까지의 정수의 곱을 p라고 하자. p의 소인수분해에서 소수 7의 지수는 얼마인가?"

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 팩토리얼(Factorial), 소인수분해 (Prime Factorization), 몫 구하기(Integer Division), 거듭제곱(Powers of a Prime Number) 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 팩토리얼은 양의 정수 n에 대해 n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×1을 의미합니다. 이 문제에서는 200!을 다룹니다. 소인수분해는 주어진 수를 소수의 곱으로 표현하는 것입니다. 이 문제에서는 200!을 소인수 분해하여 7의 지수를 구해야 합니다. 소수 7의 거듭제곱들이 200!에 몇 번씩 포함되는지 알기 위해서는 나눗셈을 통해 몫을 구해야 합니다. 특정 소수의 거듭제곱이 팩토리얼에 몇 번 포함되는지를 계산해야 합니다. 7의 경우 7^1, 7^2, 7^3 등으로 200을 나누어 각각의 몫을 구합니다.

문제 풀이:

강쌤: 이 문제를 풀기 위해서는 200!에 소수 7이 몇 번 곱해지는지를 찾아야 합니다. 소수 7의 지수를 찾는 방법은 주어진 범위에서 7의 배수, 7의 제곱의 배수를 각각 세는 것입니다. (참고로, 7의 세제곱(7^3 = 343) 이상은 200보다 크므로 고려할 필요가 없습니다.) 1부터 200까지 숫자 중에 7의 배수는 다음과 같이 28개입니다.

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, ..., 140, 147, ... 196 → 28개

강쌤: 1부터 200까지 숫자 중에 7의 제곱(49)의 배수는 다음과 같이 4개입니다.

49, 98, 147, 196 → 4개

강쌤: 그래서 200!에 소수 7이 곱해지는 것은 32번입니다.

초롱: 위와 같이 하나하나 세면 시간이 너무 걸립니다. 간단하게 푸는 방법은 없나요?

강쌤: (미소 지으며) 물론 있습니다. n!에서 소수 s의 지수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

n/s^1 + n/s^2 + n/s^3 + ...

강쌤: 위 공식에 맞춰 200!에 포함된 소수 7의 지수를 구하면,

200/7 + 200/49 = 28.6 + 4.1 = 32

강쌤: 위 공식을 적용할 때, 정수 몫만 고려해야 합니다. 예를 들면, 200/7 = 28.6인데 정수 몫은 28입니다.

12. The original price of a radio was reduced by 20 percent. During a special sale the reduced price was decreased by 10 percent of the reduced price. The resulting special sale price must be increased by approximately what percent of the special sale price to restore the price of the radio to the original amount?

A. 28% B. 30% C. 35% D. 39% E. 42%

문제 해석:

“12. 라디오의 원래 가격이 20% 감소되었다. 특별 판매 기간 동안, 할인된 가격에서 다시 10%가 할인되었다. 이 특별 판매 가격을 원래 가격으로 복원하려면 특별 판매 가격에서 몇 퍼센트를 증가시켜야 하는가?"

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 백분율(Percentage), 비율(Ratios), 비례식(Proportions)을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 이 문제에서는 가격이 일정 퍼센트만큼 줄어들고, 다시 줄어든 가격에서 추가로 일정 퍼센트가 감소합니다. 이 과정에서 백분율 개념을 정확히 이해하고 계산할 수 있어야 합니다. 백분율 변화는 곧 비율로 표현되며, 이러한 비율을 이용해 계산을 진행합니다. 예를 들어, 가격이 20% 줄어들면 0.8배가 되는 것이며, 다시 10% 줄어들면 0.72배가 되는 식으로 비율을 활용합니다. 최종적으로 원래 가격을 복원하기 위해 몇 퍼센트의 증가가 필요한지를 계산할 때, 비례식을 사용합니다.

문제 풀이:

강쌤: 이 문제를 단계별로 풀면 다음과 같습니다.

1) 원래 가격의 20% 감소

강쌤: 원래 가격을 P라고 하면, 20% 감소된 가격은 0.8P가 됩니다.

2) 이 20% 할인된 가격에서 다시 10% 감소

강쌤: 위에서 계산한 20% 할인된 가격 0.8P에 다시 10%가 할인됩니다. 이 할인된 가격은 0.9×0.8P=0.72P입니다. 따라서, 특별 판매 가격은 원래 가격의 72%입니다.

3) 특별 판매 가격을 원래 가격으로 복원하기 위해 필요한 증가율 계산

강쌤: 특별 판매 가격이 0.72P이고, 이 가격을 P로 복원하려면, 0.72P에서 몇 퍼센트를 증가시켜야 하는지 구해야 합니다. x를 증가시켜야 할 비율이라고 하면 다음 방정식이 성립합니다.

0.72P(1 + x) = P

강쌤: 양변을 P로 나누면,

0.72(1 + x) = 1,

0.72 + 0.72x = 1,

0.72x = 0.28,

x = 0.3888

강쌤: 따라서 x는 약 0.39, 즉 39%입니다. 정답은 D. 39%입니다.

13.

If 21 red cubes and 6 white cubes, all of equal size, are fitted together to form one large cube, as shown above, what is the greatest fraction of the surface area of the large cube that could be red?

A. 10/27

B. 20/27

C. 47/54

D. 8/9

E. 49/54

문제 해석:

“13. 21개의 빨간색 큐브와 6개의 흰색 큐브, 크기가 모두 동일한 큐브들이 하나의 큰 큐브를 형성하도록 맞춰져 있다. 이 큰 큐브의 겉표면에서 빨간색이 차지할 수 있는 가장 큰 비율은 얼마인가?"

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 큐브의 성질과 구조에 대한 이해, 체적과 표면적 계산, 분수와 비율 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 큰 큐브의 체적을 작은 큐브의 수로부터 계산하고, 큰 큐브의 표면적을 이해하는 능력이 필요합니다. 이 문제에서는 큰 큐브의 총 표면적을 구하는 과정이 포함됩니다. 큐브의 표면적 중 빨간 부분이 차지하는 비율을 계산할 수 있어야 합니다. 여기서 표면적의 빨간 부분과 전체 표면적의 비율을 계산하는 과정이 필요합니다.

문제 풀이:

강쌤: 먼저, 문제를 이해하기 위해 주어진 정보들을 정리해 보겠습니다. 빨간 큐브 21개와 하얀 큐브 6개가 있습니다. 이 큐브들은 모두 크기가 같고, 하나의 큰 큐브를 만듭니다. 큰 큐브의 구성 요소는 21개의 빨간 큐브와 6개의 하얀 큐브로 총 27개의 작은 큐브입니다.

강쌤: 큰 큐브의 겉표면에서 빨간색이 차지할 수 있는 가장 큰 비율을 찾으려면 21개의 빨간 큐브들이 어디에 배치될 때 빨간색 표면적이 가장 큰지를 알면 됩니다. 위 그림에서 보는 바와 같이, 작은 큐브가 중앙에 있을 때 표면적이 가장 작고, 가장자리에 있을 때 표면적이 큽니다. 6개의 하얀색 큐브를 중앙에 배치하고 21개의 빨간색 큐브를 바깥에 배치하면 표면적은 커지게 됩니다.

강쌤: 큰 큐브의 총 표면적은 얼마일까요?

초롱: ???

강쌤: 큰 큐브의 한 면의 크기는 3x3=9개의 작은 큐브들로 이루어져 있습니다. 큰 큐브는 총 6개의 면을 가지고 있으므로 큰 큐브의 총 표면적은 6×9=54개의 작은 큐브 면적입니다.

강쌤: 이제, 큰 큐브의 표면에 빨간 큐브가 얼마나 배치될 수 있는지 생각해보겠습니다. 최대한 많은 빨간 큐브를 표면에 배치하려면 빨간 큐브가 표면에 집중되도록 배치해야 합니다. 각 면의 9개의 작은 큐브들 중 가운데 큐브에 하얀 큐브를 배치하고 나머지 가장자리에 있는 8개의 작은 큐브들에 빨간 큐브를 배치하면 빨간색 큐브의 표면적은 최대가 될 수 있습니다. 큰 큐브는 6개의 면을 가지고 있으므로,

빨간 부분 표면적 = 8×6 = 48

강쌤: 따라서, 빨간 부분의 비율은 48/54 = 8/9이므로 정답은 D. 8/9입니다.

14. For each month of electricity usage, an electric company charges $0.10 per kilowatt-hour for all usage up to and including 500 kilowatt-hours and charges $0.15 per kilowatt-hour for any usage in excess of 500 kilowatt-hours. The company also charges a 10 percent sales tax on the monthly usage charges. If the total charge for a customer’s electricity usage and sales tax last month was $77.00, approximately how much electricity, in kilowatt-hours did the customer use?

A. 467 B. 567 C. 633 D. 700 E. 767

문제 해석:

“14. 매달 전기 사용에 대해, 한 전기 회사는 500 킬로와트시(kWh)까지의 사용량에는 1 kWh당 $0.10을 부과하고, 500 kWh를 초과하는 사용량에는 1 kWh당 $0.15를 부과한다. 또한, 그 회사는 월 사용 요금에 대해 10%의 판매세를 부과한다. 만일 지난 달 한 고객의 전기 사용량 및 판매세에 대한 총 부과액이 $77.00일 때, 이 고객은 킬로와트시(kWh)로 대략 얼마나 많은 전기를 사용했는가?”

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 비율과 백분율(Ratio and Percentages), 1차 방정식(Linear Equations), 단가 및 합계 계산을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 문제에서 10%의 판매세를 부과한다는 부분이 나오는데, 이 부분은 백분율 계산을 요구합니다. 이 문제에서는 총 요금에서 세금을 제외하기 위해 비율 계산이 필요합니다. 또, 500 kWh를 초과한 부분에 대해 추가 요금을 계산할 때, 초과 사용량에 대해 1차 방정식을 설정하여 해당 부분의 사용량을 구할 수 있습니다. 사용량에 따라 다른 단가가 적용되므로, 각 부분의 요금을 계산할 때 단가 계산이 필요합니다. 총 사용량과 그에 따른 총 요금을 계산하기 위해 사용량의 합계와 요금의 합계를 구해야 합니다.

문제 풀이:

강쌤: 이 문제를 풀기 위해서는 총 요금 $77.00에서 세금을 제외한 후, 순수 전기 사용 요금을 계산해야 합니다. 그런 다음 이 요금으로부터 사용한 전기량을 역산할 수 있습니다.

1) 세금을 제외한 전기 사용 요금 계산

강쌤: 총 부과액이 $77.00이고 이 금액은 전기 사용 요금에 10%의 세금이 포함된 금액입니다. 세금을 제외한 전기 사용 요금은 $77.00을 1.1로 나누면 됩니다.

전기 사용 요금 = $77.00 ÷ 1.1 ≈ $70.00

2) 사용량 계산을 위한 방정식 세우기

강쌤: 전기 사용량이 500 kWh 이하이면 $0.10을 부과하고 500 kWh를 초과하면 $0.15를 부과합니다. 초과 사용량을 x라고 하면, 전기 사용 요금 $70는 다음과 같이 1차 방정식이 됩니다.

70 = 500(0.10) + x(0.15)

강쌤: 위 식을 계산하면,

70 = 50 + 0.15x,

0.15x = 20,

15x = 2000

x = 133.33 ≒ 133

강쌤: 총 사용량은 500 kWh + 133 kWh = 633 kWh입니다. 따라서 정답은 C. 633입니다.

15.

In the figure shown, what is the value of x?

A. $\frac {1} {3}$

B. $\frac {2} {3}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{6}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{4}$

E. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

문제 해석:

“15. 위 그림에서, x의 값은 얼마인가?”

이 문제가 요구하는 수학 개념:

초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?

강쌤: 이 문제는 피타고라스 정리와 제곱근 계산을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 나타내는 피타고라스 정리를 사용하여 각각의 삼각형에서 변의 길이를 구합니다. 마지막 단계에서 x의 값을 계산하기 위해 제곱근을 구해야 합니다. 제곱근 계산은 변수의 정확한 값을 찾는 데 필수적입니다.