Shorter GRE Math 모의테스트 8 (2023년 중국후기) – 자세한 해설
- 작성자 강쌤
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- 등록일 2024. 08. 17
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Shorter GRE Math 모의테스트 8 (2023년 중국후기) – 자세한 해설 |
1. A certain sequence is defined by and
for all integers n≥2.
Quantity A:
Quantity B:
A. Quantity A is greater.
B. Quantity B is greater.
C. The two quantities are equal.
D. The relationship cannot be determined from the information given.
문제 해석:
“1. 어떤 수열이 다음과 같이 정의되어 있다. n≥2인 모든 정수에 대해, 이고
이다.
수량 A: 
수량 B:
“
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 수열(Sequence)과 지수 함수(Exponential Functions) 개념을 요구하고 있습니다. 구체적으로 살펴보면, 주어진 수열의 첫 번째 항이 주어지고, 나머지 항들은 이전 항에 대한 함수로 정의되어 있습니다. 이 문제를 해결하려면 재귀적으로 주어진 수열의 항들을 계산해야 합니다. 수열이 재귀적으로 정의되었기 때문에, 이전 항을 이용해 다음 항을 계산하는 방법을 이해해야 합니다. 문제에서 주어진 양 B는 으로, 이는 지수 함수의 형태입니다.
같은 큰 지수를 다루는 방법과 그 크기를 추정하는 능력이 필요합니다.
문제 풀이:
강쌤: 주어진 조건에 따라, 수열을 계산하면 다음과 같습니다.
강쌤: 수량 A는 이고 수량 B는
이므로 수량 A가 큽니다. 따라서 정답은 A입니다.
2. x＜0＜y,
Quantity A:
Quantity B:
A. Quantity A is greater.
B. Quantity B is greater.
C. The two quantities are equal.
D. The relationship cannot be determined from the information given.
문제 해석:
“2. x＜0＜y 일 때,
수량 A:
수량 B:
“
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 부등식과 부호 이해, 제곱수의 성질, 상황별 비교 능력을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 주어진 조건인 x<0는 x가 음수이고 y가 양수임을 의미합니다. 음수와 양수의 관계, 특히 음수의 제곱과 같은 연산의 결과를 이해하는 것이 중요합니다. 은 음수 x의 제곱이므로 항상 양수입니다. x와 y의 다양한 값에 대해 수량 A와 B를 비교하는 능력이 필요합니다. 특정한 경우(예: x=−2 또는 -1/2)에 따라 결론이 달라질 수 있기 때문에, 다양한 값을 고려해야 관계를 올바르게 판단할 수 있습니다.
문제 풀이:
강쌤: 수량 A와 수량 B를 비교하기 위해 수량 A에서 수량 B를 빼겠습니다. 즉,
수량 A - 수량 B:
강쌤: 은 항상 양수이지만 x는 음수이기 때문에 x의 값에 따라
의 값이 0보다 클 수도 있고, 0보다 작을 수도 있습니다.
초롱: 어떻게요?
강쌤: x가 -1보다 큰 분수, 예를 들면 x = -1/2이면 다음과 같이 의 값이 0보다 큽니다.
강쌤: 위와 같이, x가 -1보다 큰 분수일 때, 수량 A가 수량 B보다 큽니다. 반면에, x가 -1보다 작을 때, 예를 들면 x = -2일 때 다음과 같이 의 값이 0보다 작습니다.
강쌤: 위와 같이, x가 -1보다 작을 때, 수량 A가 수량 B보다 작습니다. 이와 같이, x의 값에 따라 수량 가 수량 B보다 크거나 작아지므로 정답은 D입니다.
3. The median of the distribution of the values of a random variable X is 0.055, and 60 percent of the values of X are less than the mean of the distribution
Quantity A
The mean of the distribution
Quantity B
0.055
A. Quantity A is greater.
B. Quantity B is greater.
C. The two quantities are equal.
D. The relationship cannot be determined from the information given.
문제 해석:
“3. 임의 변수 X의 값들의 분포에서 중간값(median)은 0.055이고, X 값들의 60%는 분포의 평균(mean)보다 작다
수량 A: 분포의 평균
수량 B: 0.055
“
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 중간값(Median), 평균(Mean), 분포의 비대칭성(Skewness), 데이터 분포의 해석을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 중간값은 데이터 세트를 크기 순서대로 나열했을 때 중앙에 위치한 값입니다. 평균은 모든 데이터 값의 합을 데이터 개수로 나눈 값입니다. 문제에서는 중간값과 평균의 차이와 그 의미를 이해하는 것이 중요합니다. 분포의 대칭성과 비대칭성을 이해해야 합니다. 만약 분포가 대칭적이면 평균과 중간값이 일치하지만, 비대칭적일 경우 평균과 중간값이 다르게 나타납니다. 특히, 평균이 중간값보다 크다면 분포는 오른쪽으로 치우친 형태(우측 비대칭, right-skewed)가 될 수 있습니다. 문제에서 주어진 "X 값들의 60%가 평균보다 작다"라는 조건을 해석할 수 있어야 합니다. 이는 데이터가 평균보다 작은 쪽으로 편향되어 있음을 시사합니다. 이 조건을 바탕으로 평균이 중간값보다 클 수밖에 없다는 결론을 도출해야 합니다.
문제 풀이:
강쌤: 중간값(median)은 데이터를 오름차순으로 정렬했을 때 정확히 가운데에 위치한 값입니다. 이 문제에서 중간값이 0.055이므로, 분포에서 절반의 값들이 0.055보다 작고 나머지 절반은 0.055보다 큽니다.
초롱: 문제에서 X 값들의 60%가 평균보다 작다고 주어졌는데, 이것은 무슨 뜻인가요?
강쌤: 평균이 중간값보다 크다는 뜻입니다.
초롱: 왜요?
강쌤: 만약 평균이 중간값보다 작다면, 평균보다 작은 값들이 전체의 50%보다 많을 수 없기 때문에, 이 상황은 불가능합니다. 반대로, 평균이 중간값보다 크다면 평균보다 작은 값들이 전체의 50%보다 많을 수 있습니다. 따라서 평균이 중간값보다 커야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 그러므로 수량 A(평균)가 수량 B(0.055)보다 크므로, 정답은 A입니다.
4. In the xy-plane, point C has coordinates (0, 2), point D has coordinates (2, 2), point F has coordinates (4, 0), and point G has coordinates (6, 2).
Quantity A
The sum of the distances from C to D and from D to F
Quantity B
The sum of the distances from D to F and from F to G
A. Quantity A is greater.
B. Quantity B is greater.
C. The two quantities are equal.
D. The relationship cannot be determined from the information given.
문제 해석:
“4. xy-평면에서, 점 C의 좌표는 (0, 2), 점 D의 좌표는 (2, 2), 점 F의 좌표는 (4, 0), 그리고 점 G의 좌표는 (6, 2)이다.
수량 A: C에서 D까지의 거리와 D에서 F까지의 거리의 합
수량 B: D에서 F까지의 거리와 F에서 G까지의 거리의 합
“
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 평면 기하학(Coordinate Geometry)에 대한 이해와 거리 공식(Distance Formula)을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 문제에서 주어진 점들은 xy-평면 상에 위치한 좌표들입니다. 이 좌표들을 사용하여 거리 및 기하학적 관계를 분석하는 것이 필요합니다. 이 문제는 두 점 사이의 거리를 구하기 위해 거리 공식을 사용해야 합니다.
문제 풀이:
강쌤: 이 문제에 주어진 좌표의 점들은 다음 그림과 같이 나타납니다.
강쌤: 두 점이 일 때 거리 공식은 다음과 같습니다.
두 점 사이의 거리 =
강쌤: 두 점 사이의 거리 공식은 피타고라스 정리로 도출할 수 있습니다. 위 그림에서 점 F와 G 사이의 거리는 직각삼각형의 빗변, x2-x1은 밑변, y2-y1은 높이를 나타낸다고 볼 수 있기 때문입니다.
강쌤: C(0, 2)에서 D(2, 2)까지의 거리와 D(2, 2)에서 F(4, 0)까지의 거리는 다음과 같습니다.
C(0, 2)에서 D(2, 2)까지의 거리 =
D(2, 2)에서 F(4, 0)까지의 거리 =
강쌤: “수량 A: C에서 D까지의 거리와 D에서 F까지의 거리의 합”은 입니다. D(2, 2)에서 F(4, 0)까지의 거리와 F(4, 0)에서 G(6, 2)까지의 거리는 다음과 같습니다.
D(2, 2)에서 F(4, 0)까지의 거리 =
F(4, 0)에서 G(6, 2)까지의 거리 =
강쌤: “D에서 F까지의 거리와 F에서 G까지의 거리의 합”은 입니다.
>
이므로 수량 A가 수량 B보다 큽니다. 따라서 정답은 A입니다.
강쌤: 이 문제를 좀 더 쉽게 푸는 방법은 수량 A와 수량 B에 중복적으로 포함된 “D에서 F까지의 거리”를 계산하지 않고 “C에서 D까지의 거리”와 “F에서 G까지의 거리”만 계산해서 크기를 비교하는 것입니다.
수량 A: C에서 D까지의 거리와 D에서 F까지의 거리의 합
수량 B: D에서 F까지의 거리와 F에서 G까지의 거리의 합
강쌤: “C에서 D까지의 거리”는 2이고, "F에서 G까지의 거리”는 입니다.
가 2보다 크므로 수량 A가 수량 B보다 크다는 것을 알 수 있습니다.
5.
Quantity A
a
Quantity B
b
A. Quantity A is greater.
B. Quantity B is greater.
C. The two quantities are equal.
D. The relationship cannot be determined from the information given.
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 ‘수직선 위의 두 각의 합이 180도’라는 것과 ‘삼각형의 내각의 합이 180도’라는 개념을 요구합니다.
문제 풀이:
강쌤: 위 그림에서 ‘수직선 위의 두 각의 합이 180도’라는 개념을 적용하면,
2b + a = 180,
a = 180 - 2b ... (1)
강쌤: 위 그림에서 ‘삼각형의 내각의 합이 180도’라는 개념을 적용하면,
a + a + b = 180,
2a + b = 180 ... (2)
강쌤: 식 (1)을 식 (2)에 대입하면,
2(180 - 2b) + b = 180,
360 - 4b + b = 180,
-3b = -180,
b = 60 ... (3)
강쌤: 식 (3)을 식 (1)에 대입하면,
a = 180 - 2(60),
a = 180 - 120 = 60
강쌤: a = 60, b = 60이므로 수량 A와 수량 B는 같습니다. 따라서 정답은 C입니다.
6. One-half of is equal to which of the following?
A.
B.
C.
D. 
E.
문제 해석:
“6. 의 절반은 다음 중 어느 것과 같은가?"
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 거듭제곱의 성질, 소인수 분해, 지수법칙을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 이 문제에서는 거듭제곱의 기본적인 성질, 특히 및
의 사용이 필요합니다. 8을 2의 거듭제곱으로 변환한 후, 이 성질을 활용하여 문제를 해결합니다. 또, 8을
으로 변환하는 과정에서 소인수 분해 개념이 필요합니다. 이 과정은 주어진 수를 기본 소인수인 2로 표현하는 데 사용됩니다. 지수법칙을 활용하여
로 간단히 계산하는 과정이 필요합니다. 이 과정에서 지수의 덧셈과 뺄셈 규칙을 이해하고 적용할 수 있어야 합니다.
문제 풀이:
강쌤: 이 문제가 요구하는 것은 다음과 같습니다.
... (1)
강쌤: 이 문제를 풀기 위해서는 먼저 8을 기본 소인수인 2의 거듭제곱인 으로 변환해야 합니다.
... (2)
강쌤: (2)를 (1)에 대입하면,
강쌤: 따라서, 정답은 E입니다.
7. The standard deviation of n numbers with mean m is equal to
, where S is the sum of the squared differences
for 1≤i≤n. The standard deviation of the numbers in data set A is 18. The numbers in data set B are created by multiplying each number in A by 2 and then subtracting 5 from the result. What is the standard deviation of the numbers in B?
A. 13 B. 18 C. 26 D. 31 E. 36
문제 해석:
“7. "평균이 m인 n개의 숫자 의 표준 편차는
으로 정의된다. 여기서 S는 각 숫자 xi와 평균 m의 차이 제곱의 합
이다. 데이터 셋 A의 숫자들의 표준 편차는 18이다. 데이터 셋 B의 숫자들은 A의 각 숫자에 2를 곱한 다음 5를 뺀 값들로 구성되어 있다. 데이터 셋 B의 숫자들의 표준 편차는 얼마인가?"
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 표준 편차(Standard Deviation)의 개념과 데이터 변환이 표준 편차에 미치는 영향을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 표준 편차는 데이터 셋의 각 값이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 척도입니다. 표준 편차가 클수록 데이터 값들이 평균에서 더 멀리 퍼져 있음을 의미합니다. 데이터 셋의 각 값에 동일한 상수를 곱하면, 표준 편차는 그 상수에 비례하여 변화합니다. 예를 들어, 데이터 셋의 각 값에 2를 곱하면, 표준 편차도 2배가 됩니다. 반면에, 데이터 셋의 각 값에 동일한 상수를 더하거나 빼는 경우, 표준 편차에는 영향을 미치지 않습니다. 이러한 연산은 데이터의 평균만 변화시키고, 데이터 값들의 분산 정도는 그대로 유지되기 때문입니다.
문제 풀이:
강쌤: 주어진 데이터 셋의 값에 대해 특정한 변환이 이루어지면, 표준 편차도 이에 따라 변화합니다.
1) 데이터 셋 B의 값
강쌤: 데이터 셋 B는 A의 각 숫자에 2를 곱한 다음 5를 뺀 값들로 이루어집니다.
2) 상수에 따른 변환의 영향
강쌤: 데이터의 모든 값에 동일한 상수를 더하거나 빼는 것은 표준 편차에 영향을 미치지 않지만, 각 값을 특정 상수로 곱하는 것은 표준 편차를 그 상수로 곱한 만큼 변화시킵니다. 각 숫자에 2를 곱하는 것은 표준 편차를 2배로 만듭니다. 5를 빼는 것은 평균에만 영향을 미칠 뿐, 표준 편차에는 영향을 미치지 않습니다.
초롱: 왜요?
강쌤: 데이터의 모든 값에 동일한 상수를 더하거나 빼면 평균은 달라지지만 각 데이터가 평균에서 벗어난 정도는 평균이 증가/감소한 만큼 증가/감소하기 때문입니다. 간단한 예로 이 원리의 타당성을 검토하겠습니다. 데이터 A = {2, 5, 8}이라고 하고, 데이터 B를 데이터 A의 숫자들에 5를 뺀 값이라고 하면, 데이터 B = {-3, 0, 3}입니다. 데이터 A의 평균과 표준 편차는 다음과 같습니다.
데이터 A의 평균 = (2+5+8)/3 = 15/3 = 5
데이터 A의 표준 편차 =
강쌤: 데이터 B의 평균과 표준 편차는 다음과 같습니다.
데이터 B의 평균 = (-3+0+3)/3 = 0
데이터 B의 표준 편차 =
3) 정답
강쌤: 데이터 셋 A의 표준 편차가 18이므로, 데이터 셋 B의 표준 편차는 18에 2를 곱한 값입니다. 따라서 B의 표준 편차는
18 × 2 = 36
강쌤: 정답은 E. 36입니다.
8. An integer is to be selected at random from the set of integers from 10 to 99. What is the probability that both of the digits in the integer selected will be even?
A. 1/5 B. 2/9 C. 1/4 D. 4/9 E. 1/2
문제 해석:
“8. 하나의 정수가 10부터 99까지의 정수 집합에서 무작위로 선택되려고 한다. 선택된 정수의 두 자릿수가 모두 짝수일 확률은 얼마인가?”
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 확률의 기본 개념과 경우의 수를 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 두 자릿수가 모두 짝수인 경우의 수를 구한 후, 이를 전체 경우의 수로 나누어 확률을 계산합니다. 10의 자리와 1의 자리가 각각 몇 가지 선택 가능한지를 계산하고, 이를 곱하여 두 자릿수가 모두 짝수인 경우의 수를 구하는 것이 필요합니다.
문제 풀이:
강쌤: 이 문제를 풀려면, 10부터 99까지의 정수 집합을 파악하고, 선택 가능한 10의 자리와 1의 자리의 수를 계산한 후, 확률을 계산하면 됩니다.
1) 10부터 99까지의 정수 집합
강쌤: 이 집합에는 총 90개의 숫자(10, 11, 12, ..., 99)가 포함됩니다.
2) 10의 자리와 1의 자리의 선택
강쌤: 10의 자리와 1의 자리에 각각 다음과 같은 짝수가 나올 수 있습니다.
10의 자리: 2, 4, 6, 8 (4개의 선택 가능)
1의 자리: 0, 2, 4, 6, 8 (5개의 선택 가능)
강쌤: 따라서 두 자리 모두 짝수인 경우의 수는 4×5=20입니다.
3) 확률 계산
강쌤: 10부터 99까지 총 가능한 숫자는 90개이고, 그중 두 자릿수가 모두 짝수인 숫자는 20개이므로 확률은 20/90, 즉 2/9입니다. 따라서 정답은 B입니다.
9. In the xy-plane, point P has coordinates (6r, 8r), where r>0, point Q is the reflection of point P about the origin, and the distance from P to Q is 28. What is the value of r?
A. 2.8 B. 2 C. 1.75 D. 1.4 E. 1
문제 해석:
“9. xy-평면에서 점 P의 좌표는 (6r, 8r)이고, 여기서 r은 0보다 크다. 점 Q는 원점을 기준으로 점 P를 대칭시킨 점이며, 점 P와 점 Q 사이의 거리는 28이다. r의 값은 얼마인가?”
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 좌표 평면의 대칭 이해와 거리 공식을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 점을 원점을 기준으로 대칭시키는 개념이 필요합니다. 이 경우, 점 P의 좌표 (x, y)를 원점에 대해 대칭시키면, 대칭된 점의 좌표는 (-x, -y)입니다. 두 점 사이의 거리를 계산하기 위해 유클리드 거리 공식을 사용할 수 있어야 합니다.
문제 풀이:
강쌤: 이 문제를 풀려면, 점 Q의 좌표를 구하고, 점 P와 점 Q 사이의 거리를 구해야 합니다.
1) 점 Q의 좌표 구하기
강쌤: 점 P의 좌표는 (6r, 8r)이므로 원점을 기준으로 대칭된 점 Q의 좌표는 P의 좌표에서 부호만 바꾸면 됩니다. 즉, Q의 좌표는 (-6r, -8r)입니다.
2) 점 P와 점 Q 사이의 거리 구하기
강쌤: 두 점 사이의 거리는 거리 공식을 사용하여 구할 수 있습니다. 두 점이 (x1, y1), (x2, y2)일 때 거리 공식은 다음과 같습니다.
두 점 사이의 거리 =
PQ의 거리 =
강쌤: 문제에서 주어진 정보에 따르면, 점 P와 Q 사이의 거리는 28입니다. 따라서,
20r = 28,
r = 28/20 = 7/5 = 1.4
강쌤: 정답은 D입니다.
10. The units digit of is r, and the units digit of
is t, where n, r, and t are positive integers. Which of the following could be the value of r+t?
Indicate all such values.
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
Select one or more answer choices.
문제 해석:
“10. 7의 n제곱의 1의 자릿수가 r이고, 9의 n제곱의 1의 자릿수가 t이다. 여기서 n, r, t는 모두 양의 정수이다. r + t의 값으로 가능한 것은 무엇인가?”
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 거듭제곱과 일의 자릿수 규칙, 패턴 인식을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 특정 숫자의 거듭제곱을 계산할 때, 1의 자릿수가 반복되는 규칙성을 이해하고 적용할 수 있어야 합니다. 이 문제에서는 7^n과 9^n의 일의 자릿수가 일정한 주기로 반복되는 것을 인식해야 합니다.
문제 풀이:
강쌤: 이 문제를 풀려면, 7^n의 일의 자릿수(r)의 규칙, 9^n의 일의 자릿수(t)의 규칙, r + t의 값을 구해야 합니다.
1) 7^n의 일의 자릿수(r)의 규칙
7^1 = 7 → 1 의 자리: 7
7^2 = 49 → 1 의 자리: 9
7^3 = 343 → 1 의 자리: 3
7^4 = 2401 → 1 의 자리: 1
7^5 = 16807 → 1 의 자리: 7
강쌤: 일의 자릿수는 7, 9, 3, 1의 순서로 반복됩니다.
2) 9^n의 일의 자릿수(t)의 규칙
9^1 = 9 → 1 의 자리: 9
9^2 = 81 → 1 의 자리: 1
9^3 = 729 → 1 의 자리: 9
9^4 = 6561 → 1 의 자리: 1
3) r + t의 값
r = 7, t = 9인 경우: r + t = 7 + 9 = 16
r = 9, t = 9인 경우: r + t = 9 + 9 = 18 (선택지에 없음)
r = 3, t = 9인 경우: r + t = 3 + 9 = 12
r = 1, t = 9인 경우: r + t = 1 + 9 = 10
r = 7, t = 1인 경우: r + t = 7 + 1 = 8 (선택지에 없음)
r = 9, t = 1인 경우: r + t = 9 + 1 = 10
r = 3, t = 1인 경우: r + t = 3 + 1 = 4 (선택지에 없음)
r = 1, t = 1인 경우: r + t = 1 + 1 = 2 (선택지에 없음)
강쌤: r + t의 값으로 가능한 것은 10, 12, 16입니다. 따라서, 정답은 A, B, D입니다.
11. A certain company's cost C, in dollars, of producing x units of its product is given by the formula , where 0≤x≤6,000. If the company produces 200 units and sells each unit for $7.98, what is the company’s profit from the production and sale of the 200 units? (Profit equals sales revenue minus production cost.)
$__1124___
Enter your answer as an integer or a decimal in the answer box.
문제 해석:
“11. 어느 회사가 제품 x개의 생산 비용 C를 다음과 같은 공식으로 계산한다. , 여기서 0≤x≤6,000이다. 만약 회사가 200개의 제품을 생산하고 각 제품을 $7.98에 판매한다면, 200개 제품의 생산 및 판매로 인한 회사의 이익은 얼마인가? (이익은 판매 수익에서 생산 비용을 뺀 값이다.)
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 함수의 이해, 이차 함수의 기본 개념, 그리고 수익과 이익의 기본 경제 개념을 종합적으로 요구합니다.
문제 풀이:
강쌤: 이 문제를 풀려면, 생산 비용, 판매 수익, 이익을 계산해야 합니다.
1) 생산 비용 계산
강쌤: 회사가 200개의 제품을 생산할 때의 비용을 계산합니다. 주어진 공식을 사용하여 x=200일 때의 C 값을 계산합니다.
C = 2.4(200)−0.0002(200)^2,
= 480−0.0002(40000),
= 480−8 = 472 (달러)
2) 판매 수익 계산
강쌤: 각 제품을 $7.98에 판매할 때, 200개를 판매하여 얻는 총 수익을 다음과 같이 계산합니다.
판매 수익 = 7.98×200 = 1596 (달러)
3) 이익 계산
강쌤: 이익은 판매 수익에서 생산 비용을 뺀 값입니다.
이익 = 1596−472 = 1124 (달러)
강쌤: 주관식 정답은 1124 (달러)입니다.
12. Drake bought a shirt at a price that was 10 percent less than the retail price of the shirt. He also bought a tie at a price that was 30 percent less than the retail price of the tie. The retail price of the shirt was twice the retail price of the tie. Drake paid a total of $62.10 for the shirt and tie, including an 8 percent sales tax on both the shirt and tie. What was the retail price of the tie?
A. $16.10 B. $20.70 C. $23.00 D. $41.40 E. $46.00
문제 해석:
“12. Drake는 셔츠를 소매가보다 10% 저렴한 가격에 샀다. 그는 또한 넥타이를 소매가보다 30% 저렴한 가격에 샀다. 셔츠의 소매가는 넥타이의 소매가의 두 배였다. Drake는 셔츠와 넥타이를 구입하면서 8%의 판매세를 포함해 총 $62.10를 지불했다. 넥타이의 소매가는 얼마인가?
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 백분율(Percentage) 개념과 방정식을 세우고 푸는 것을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 문제에서 셔츠와 넥타이의 정가에 대해 각각 10%와 30%의 할인이 적용되었으며, 최종 가격에 8%의 판매세가 추가된다는 정보를 이용합니다. 백분율을 정확히 계산하고, 할인과 세금을 적용할 수 있어야 합니다. 문제를 풀기 위해 변수에 대한 방정식을 세우고, 이 방정식을 풀어 정확한 답을 도출합니다.
문제 풀이:
강쌤: 이 문제를 풀려면, 변수 설정, 할인된 가격, 판매세 적용 후 총 비용, 총 지불 금액과의 관계 설정이 필요합니다.
1) 변수 설정
강쌤: 넥타이의 소매가를 x라고 하면, 셔츠의 소매가는 2x가 됩니다.
2) 할인된 가격
강쌤: 넥타이의 할인된 가격은 0.7x (30% 할인)이고, 셔츠의 할인된 가격은 0.9×2x = 1.8x (10% 할인)입니다.
3) 판매세 적용 후 총 비용
강쌤: 넥타이와 셔츠의 할인된 가격을 합치면 0.7x+1.8x=2.5x가 됩니다. 여기에 8%의 판매세가 적용되므로 최종 지불 금액은 2.5x×1.08입니다.
4) 총 지불 금액과의 관계 설정
강쌤: 문제에서 주어진 총 지불 금액이 $62.10이므로, 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다.
2.5x × 1.08 = 62.10
강쌤: 위 방정식을 풀면,
강쌤: 넥타이의 소매가는 23달러이므로 정답은 C입니다.
13.
Equilareral triangle ABC is inscribed in a circle with center O and area 64π. What is the height of triangle ABC?
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
E. 16
문제 해석:
“13. 정삼각형 ABC가 중심이 O인 원에 내접해 있으며, 원의 면적은 64π이다. 삼각형 ABC의 높이는 얼마인가?”
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 원 면적 공식, 정삼각형의 성질, 정삼각형과 내접원의 관계 개념을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 문제에서 원의 면적이 주어졌고, 이를 통해 반지름을 구해야 하므로 원의 면적 공식인 πr^2을 알고 있어야 합니다. 정삼각형의 중심에서 꼭짓점까지의 거리가 원의 반지름이고, 이 거리가 높이의 2/3라는 개념을 적용해야 합니다.
문제 풀이:
강쌤: 이 문제를 풀려면, 원 면적에서 반지름을 구하고, 내접한 정삼각형의 높이를 구해야 합니다.
1) 원 면적에서 반지름
강쌤: 원의 면적은 πr^2으로 주어집니다. 이때, r은 원의 반지름입니다. 문제에서 원의 면적이 64π라고 주어졌으므로, 입니다. 따라서,
r = 8
강쌤: 원의 반지름은 8입니다.
2) 내접한 정삼각형의 높이 구하기
강쌤: 원에 내접한 정삼각형에서, 원의 반지름은 삼각형의 높이의 입니다. 이는 정삼각형의 중심에서 꼭짓점까지의 거리(원의 반지름)가 높이의
이라는 사실에서 유도됩니다. 삼각형의 높이를 h라고 하면,
강쌤: 양변을 으로 곱하면,
강쌤: 삼각형의 높이는 12이므로 정답은 C입니다.
초롱: 정삼각형의 중심에서 꼭짓점까지의 거리(원의 반지름)가 삼각형 높이의 2/3이라는 사실을 어떻게 유도할 수 있나요?
강쌤: 아래 그림으로 확인할 수 있습니다.
강쌤: 우리가 증명하고자 하는 것은 정삼각형의 높이 CD는 외접원의 반지름 OC보다 3/2만큼 크다는 것입니다. 바꿔 말하면, 외접원의 반지름 OC가 내접원의 반지름 OD보다 2배 크다는 것을 보이면 됩니다.
강쌤: 위 그림에서 점선으로 그려진 외접원의 반지름들은 ‘세 내각의 이등분선’이므로 삼각형 OAD는 직각삼각형이 됩니다. 각각의 각도는 각 ODA가 90도, 각 OAD가 30도, 각 AOD가 60도입니다. 직각삼각형의 각도가 30도, 60도, 90도일 때 마주하는 변은 아래 그림에서 보는 바와 같이 가 됩니다.
강쌤: 정삼각형의 한 변의 길이를 x라고 하면, AD는 , CD(정삼각형 높이)는
입니다. 이제, 외접원의 반지름 OA와 내접원의 반지름 OD의 관계를 살펴보겠습니다. 외접원의 반지름 OA의 길이를 r이라고 하면 OD는
(30도에 마주하는 변), AD는
(60도에 마주하는 변)입니다.
AD의 길이 = ,
... (1)
CD(정삼각형 높이) 길이 = ... (2)
OD(내접원의 반지름) 길이 = ... (3)
강쌤: (2)에서 정삼각형의 높이는 외접원의 반지름 r의 배임을 알 수 있고, (3)에서 내접원의 반지름은 외접원의 반지름 r의 절반임을 알 수 있습니다.
14. A total of $84,000 was invested for one month in a new money market account that paid simple annual interest at the rate of r percent. If the investment earned $420 in interest for the month, what is the value of r?
A. 4.5 B. 5.0 C. 5.5 D. 6.0 E. 7.0
문제 해석:
“14. 총 84,000달러가 r 퍼센트의 단순 연이율로 새로운 금융 시장 계좌에 한 달간 투자되었다. 이 투자로 한 달 동안 420달러의 이자를 얻었다면, r의 값은 얼마인가?”
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 단순 이자 계산과 비례 계산을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 단순 이자는 원금, 이율, 시간(기간)에 기반하여 계산됩니다. 문제에서 주어진 단순 연이율과 이자 공식을 활용하여 이자를 계산해야 합니다. 또, 연이율이 주어졌을 때 한 달 동안의 이자를 계산하는 문제이기 때문에, 연간 이자를 12로 나누어 한 달 동안의 이자를 구하는 비례 개념을 이해해야 합니다.
문제 풀이:
강쌤: 이 문제를 풀려면, 이자 계산의 기본 공식을 활용해야 합니다.
1) 이자 계산의 기본 공식
강쌤: 단순 연이율(simple annual interest)에서 한 달 동안의 이자는 다음과 같이 계산됩니다.
이자 = (원금 x r) / 100 x (1/12)
2) 주어진 정보를 공식에 대입하기
강쌤: 양변에 1,200을 곱하면,
420x1200 = 84,000r,
504,000 = 84,000r
r = 504,000/84,000 = 6
강쌤: r의 값은 6이므로 정답은 D입니다.
15.
In the figure above, MN=NO and MP=PO. If MO=6 and NP=10, what is the area of quadrilateral region MNOP?
A. 60 B. 30 C. 25 D. 15 E. 10
문제 해석:
“15. 주어진 그림에서 MN=NO이고 MP=PO이다. MO=6이고 NP=10일 때, 사각형 MNOP의 넓이는 얼마인가?”
이 문제가 요구하는 수학 개념:
초롱: 이 문제가 요구하는 수학 개념들은 무엇인가요?
강쌤: 이 문제는 기하학적 도형의 성질, 대칭성, 삼각형의 넓이 계산을 요구합니다. 구체적으로 살펴보면, 문제에서 주어진 도형은 사각형이고, 이 사각형은 대각선에 의해 두 개의 삼각형으로 나뉩니다. 이와 같은 도형의 성질과 그 구조를 이해하는 것이 중요합니다. MN=NO와 MP=PO는 이 도형이 대칭적인 성질을 가지고 있음을 의미합니다. 이는 두 삼각형 MNP와 NOP가 같은 크기의 면적을 가진다는 것을 유추할 수 있게 합니다. 삼각형의 넓이를 계산하기 위한 기본 공식을 적용하는 능력이 필요합니다.
문제 풀이:
강쌤: 주어진 대각선 NP=10은 사각형 MNOP를 두 개의 삼각형 MNP와 NOP로 나눕니다. 주어진 MO=6은 두 삼각형의 높이입니다. MO가 대각선 NP에 의해 절반으로 나뉘므로, 각 삼각형의 높이는 MO/2=3이 됩니다. 각 삼각형 MNP와 NOP의 넓이를 계산하면 다음과 같습니다.
삼각형 MNP의 넓이 = 1/2 x 10 x 3 = 15
삼각형 NOP의 넓이 = 1/2 x 10 x 3 = 15
강쌤: 사각형 MNOP의 넓이는 두 삼각형 MNP와 NOP의 넓이의 합과 같으므로,
사각형 MNOP의 넓이=15+15=30
강쌤: 따라서, 정답은 B입니다.